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Exercício Resolvido - Geometria Plana: Vestibular UERJ 2011

Exercício de geometria plana do vestibular UERJ 2011

A embalagem de papelão de um determinado chocolate, representada na figura abaixo, tem a
forma de um prisma pentagonal reto de altura igual a 5 cm.
Pentágono

Em relação ao prisma, considere:
- cada um dos ângulos A, B, C e D da base superior mede 120º;
- as arestas AB, BC e CD medem 10 cm cada.
Considere, ainda, que o papelão do qual é feita a embalagem custa R$10,00 por m² e que √3 = 1,73
Na confecção de uma dessas embalagens, o valor, em reais, gasto somente com o papelão é
aproximadamente igual a:
(A) 0,50
(B) 0,95
(C) 1,50
(D) 1,85

Solução:
Antes de começar a fazer o exercício propriamente dito é importante deixar destacado o fato de que ele pede que seja calculada a quantidade total de papelão. Por vezes, exercícios assim, faz-se a parte mais difícil, que é calcular a área do pentágono e esquece-se de somar a área lateral e a área do pentágono da face oposta. Assim, vou começar o exercício destacando isso:

Área Total = 2*APentágono + ALateral

Cálculo da área do pentágono:

Os dados fornecidos no exercício são poucos mas suficientes. Inicialmente, é preciso lembrar que um pentágono tem a soma dos seus ângulos internos igual a 540º. Este valor vem da fórmula da soma dos ângulos internos de um polígono:

S = (n - 2)*180

Onde S é a soma dos ângulos internos e n o número de lados. Como o pentágono tem 5 lados:

S = (5 - 2)*180 = 3*180 = 540º

Assim, como quatro Ângulos medem 120º, então o ângulo Ê certamente será de 60º:

Geometria plana

Traçando uma linha horizontal ligando A e D, dividimos o pentágono em dois polígonos: um triângulo e um trapézio:
Soma dos ângulos internos
Pela simetria da figura temos que os ângulos nos vértices A e D são divididos de forma igual o que garante que a parte que fica do lado do triângulo mede o mesmo nos dois casos. Usando a fórmula da soma dos ângulo internos, descobrimos que um triângulo tem a soma dos seus ângulos igual a 180º. Neste caso, os ângulos do vértice A e do vértice D que ficaram do lado do triângulo só podem medir 60º. Com isso, conclui-se que os ângulo que ficaram no lado do trapézio também medem 60º:
Triângulo

Com estas informações, podemos concluir que o triângulo é equilátero, ou seja, possui todos os lados iguais. Esta conclusão se dá pois um triângulo equilátero tem seus Ângulos internos todos iguais a 60º. Assim, a distância entre AD é a mesma de AE e de DE.
Fazendo duas linhas verticais partindo de C e de B, passamos a ter dois triângulos retângulos a, com isso, conseguimos calcular tudo o que precisamos:
Pentágono
Agora temos uma figura com três triângulos e um retângulo. O valor do lado BG pode ser calculado multiplicando BA pelo cosseno de 30º:

BG = BA*Cos(30º) = 10*(√3 / 2) = 5√3

Assim, a área do retângulo será de: 10*5√3 = 50√3

Da mesma forma, podemos calcular AG:

AG = BA*Sen(30º) = 10*(1/2) = 5

Como o triângulo AGB é retângulo, sua área é (1/2)*AG*BG. Como o triângulo DFC tem a mesma área:

Área dos triângulos AGB e DFC = (1/2)*5*5√3 = 25√3 / 2 = 12,5√3

Assim, a área do trapézio será:

ATrapézio = 50√3 + 12,5√3 + 12,5√3 = 75√3

Com isso, além de calcular a área do trapézio, calculamos o comprimento do segmento de reta DA pois AG = FD = 5 cm e FG = CB = 10 cm. Assim:

DA = AG + GF + FD = 20 cm

Porém, como o triângulo DEA é equilátero, então todos os seus lados medem 20 cm, assim, DE = AE = 20 cm.
A área de DEA pode ser calculada sabendo que a área de um triângulo equilátero é dada por:

A = (1/4)*l²√3

Onde l é o lado do triângulo e neste caso, vale 20 cm. Assim:

ADEA = (1/4)*(20²)*√3 = 100√3

Agora, basta somar todas as áreas para obter a área do pentágono:

APentágono = 75√3 + 100√3 = 175√3 = 175*1,73 = 302,75 cm² = 0,030275 m²

Resta calcular a área lateral. Porém, como conhecemos a altura (5 cm) e temos todas as arestas do pentágono, esta cálculo fica facilitado:

ALateral = 10*5 + 10*5 + 10*5 + 20*5 + 20*5 = 350 cm² = 0,0350 m²

Área Total = 2*APentágono + ALateral = 2*0,030275 + 0,0350 = 0,06055 + 0,0350 = 0,09555 m²

Como o preço é de R$ 10,00 por m², o valor total será:

10*0,09555 = 0,95

Letra (B)
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Seno, cosseno, tangente: Dica

Dica das relações dos lados de um triângulo retângulo: Seno, cosseno e tangente


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Exercício Resolvido - Caminhos: Análise combinatória: Vestibular UERJ 2011

Cálculo do número de caminhos mínimos entre dois pontos

Uma rede é formada de triângulos equiláteros congruentes, conforme a representação abaixo.
Uma formiga se desloca do ponto A para o ponto B sobre os lados dos triângulos, percorrendo
X caminhos distintos, cujos comprimentos totais são todos iguais a d.

Sabendo que d corresponde ao menor valor possível para os comprimentos desses caminhos, X
equivale a:
(A) 20
(B) 15
(C) 12
(D) 10

Solução:
Para saber quantos caminhos de menor comprimento são possíveis, devemos percorrer, inicialmente, um dos menores caminhos. Seja ele o caminho partindo de A, andando 4 linhas na horizontal e 2 na diagonal até chegar em B:
Número de caminhos
Neste caso, podemos dizer que a formiga percorreu o caminho HHHHDD, já que foi quatro vezes para a esquerda na horizontal, e duas vezes para cima na direção diagonal.
Assim, para saber quantos caminho de comprimento igual a esse basta calcular o número de formas de combinar as quatro letras H e as duas D para formar "palavras" diferentes, ou seja, devemos calcular o número de anagramas possíveis de serem formados com HHHHDD.
Supondo que todas as seis letras sejam diferentes, podemos dizer que é possível "embaralhá-las" de K formas distintas, onde:

K = 6*5*4*3*2*1 = 6! = 720

Porém, temos quatro letras H e duas D. Com isso num mesmo anagrama ao trocarmos dois H's de lugar, o anagrama segue o mesmo. Por exemplo, seja a palavra HDHDHH. Ao trocar o último H com o primeiro H, a palavra continua sendo exatamente a mesma e como são quatro letras H's que temos, existem 4*3*2*1 = 4! combinações de H's possíveis para cada palavra. O mesmo com a letra D, que possui duas iguais, neste caso teremos 2*1 = 2! combinações. Assim, o número de caminhos diferentes será:

Neste caso são 15 caminhos de comprimento mínimo possíveis. Resposta (B)
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Força de Euler, Einstein, Coriolis e Centrífuga: Referencial não inercial.

Demonstração das forças que atuam em uma partícula ligada a um referencial não inercial: Força de Euler, de Einsteins, de Coriolis e Centrífuga (centrípeta).

Demonstre todas as possíveis forças que atuam em uma partícula em um referencial não inercial.

Solução:
Por motivos didáticos e para simplificar o post, a demonstração será feita em duas dimensões, porém o resultado pode ser estendido para um caso tridimensional. Isso irá facilitar bastante a visualização.

Veja o desenho abaixo que representa um referencial fixo (inercial, em preto) formado pelos eixos x, y e z, onde z esta saindo da tela em direção ao leitor. Em azul esta o referencial não inercial e o ponto P onde queremos calcular as forças. Seria algo como um avião, onde o ponto P é uma pessoa dentro deste avião. Assim, definimos as coordenadas deste ponto em relação a um referencial no avião, porém como este avião faz curvas e acelera este referencial é não inercial.
Referencial não inercial

Obs.: Vale salientar que o tamanho dos eixos (x,y) estão diferentes dos eixos (xn, yn) mas todos eles têm módulo unitário. Na figura, x e y representam a direção onde aponta os vetores unitário $\widehat{x}$ e $\widehat{y}$.

Do que se pode ver da figura, temos o vetor posição do ponto P descrito como:

$\overrightarrow{r} \, = \, \overrightarrow{R} \, + \, \overrightarrow{r_n}$

Porém, o vetor $\overrightarrow{R}$ possui suas coordenadas escritas no referencial inercial (x,y,z), mas o vetor $\overrightarrow{r_n}$ não. As coordenadas de $\overrightarrow{r_n}$ estão descritas no referencial (xn, yn, zn). Assim, podemos escrever os vetores $\overrightarrow{R}$ e $\overrightarrow{r_n}$ segundo seus versores:

$\overrightarrow{r} \, = \, xR \, \widehat{x} + yR \, \widehat{y} + zR \, \widehat{z} + xnP \, \widehat{xn}+ynP \, \widehat{yn}+znP \, \widehat{zn}$

Assim, temos definida a posição do ponto P, que é dada pelo vetor $\overrightarrow{r}$.

Para obter a velocidade do ponto P, basta derivar em relação ao tempo o vetor $\overrightarrow{r}$. Neste caso, é importante perceber que os versores inerciais (x,y,z) não se alteram, porém os não inerciais mudam com o tempo. Ainda, como estabelecemos que o movimento será bidimensional, então o sistema não inercial poderá rotacionar apenas em torno do eixo zn, ou seja, existe uma velocidade angula $\omega$ na direção zn. Esta velocidade angular irá alterar o ângulo formado entre os sistemas de referência. Veja na figura a seguir:

Nesta última figura fica fácil perceber algumas coisas importantes:

$\frac{d \theta}{dt} \, = \, \omega $

$\widehat{xn} \, = \, \widehat{x} * cos(\theta) \, + \, \widehat{y} * sen(\theta)$

$\widehat{yn} \, = \, \widehat{x} * [-sen(\theta)] \, + \, \widehat{y} * cos(\theta)$

Voltando ao resultado do vetor $\overrightarrow{r}$ que obtivemos anteriormente:

$\overrightarrow{r} \, = \, xR \, \widehat{x} + yR \, \widehat{y} + zR \, \widehat{z} + xnP \, \widehat{xn}+ynP \, \widehat{yn}+znP \, \widehat{zn}$

Derivando no tempo temos:

$\frac{d \overrightarrow{r}}{dt} \, = \, \left ( \frac{d xR}{dt} \, \widehat{x} + xR \, \frac{d \widehat{x}}{dt} \right ) + \left ( \frac{d yR}{dt} \, \widehat{y} + yR \, \frac{d \widehat{y}}{dt} \right ) + \left ( \frac{d zR}{dt} \, \widehat{z} + zR \, \frac{d \widehat{z}}{dt} \right ) + \left ( \frac{d xnP}{dt} \, \widehat{xn} + xnP \, \frac{d \widehat{xn}}{dt} \right ) + \left ( \frac{d ynP}{dt} \, \widehat{yn} + ynP \, \frac{d \widehat{yn}}{dt} \right ) + \left ( \frac{d znP}{dt} \, \widehat{zn} + znP \, \frac{d \widehat{zn}}{dt} \right )$


Porém, como os eixos x e y são constantes, suas derivadas serão nulas o que elimina o termo na qual eles estão multiplicando. O mesmo ocorre para os eixos z e zn, já que estamos considerando que o movimento é bidimensional, neste caso eles não alteram suas direções, mantendo-se constante. Isso ocorre pois toda rotação se da nas direções z (ou zn, já que eles têm mesmo direção e sentido). Neste caso temos:

$\frac{d \overrightarrow{r}}{dt} \, = \, \left ( \frac{d xR}{dt} \, \widehat{x} \right ) + \left ( \frac{d yR}{dt} \, \widehat{y} \right ) + \left ( \frac{d xnP}{dt} \, \widehat{xn} + xnP \, \frac{d \widehat{xn}}{dt} \right ) + \left ( \frac{d ynP}{dt} \, \widehat{yn} + ynP \, \frac{d \widehat{yn}}{dt} \right )$

Definindo algumas simplificações:

$\left ( \frac{d xR}{dt} \, \widehat{x} \right ) + \left ( \frac{d yR}{dt} \, \widehat{y} \right ) \, = \, \frac{d \overrightarrow{R}}{dt} \, = \, \overrightarrow{V}$

Onde $\overrightarrow{V}$ seria a velocidade com que a origem do referencial não inercial se afasta da origem do referencial inercial.

$\left ( \frac{d xnP}{dt} \, \widehat{xn} \right ) + \left ( \frac{d ynP}{dt} \, \widehat{yn} \right ) \, = \, \overrightarrow{v_n}$

Onde $\overrightarrow{v_n}$ seria a velocidade do ponto P em relação ao referencial não inercial.

Restou o termo:

$\left ( xnP \, \frac{d \widehat{xn}}{dt} \right ) + \left (ynP \, \frac{d \widehat{yn}}{dt} \right )$

Para isso, precisamos derivar os versores do referencial não inercial:

$\frac{d\,\widehat{xn}}{dt} \, = \, \frac{d\,cos(\theta)}{dt}*\widehat{x} \, + \, \frac{d \, sen(\theta)}{dt}*\widehat{y} \, = \, \frac{d \theta}{dt} * \left [ -sen(\theta)*\widehat{x} + cos(\theta)*\widehat{y} \right ]$

Mas, vejam que feliz coincidência. Observando as relações obtidas antes, temos que:

$\widehat{yn} \, = \, \widehat{x} * [-sen(\theta)] \, + \, \widehat{y} * cos(\theta)$

Assim:

$\frac{d \,\widehat{xn}}{dt} \,  = \, \frac{d \theta}{dt} \, \widehat{yn}$

Fazendo o mesmo para o $\frac{d\,\widehat{yn}}{dt}$ chegamos que:

$\frac{d\, \widehat{yn}}{dt} \,  = \,- \frac{d \theta}{dt} \, \widehat{xn}$

Assim:

$\frac{d \overrightarrow{r}}{dt} \, = \,  \overrightarrow{V} + \overrightarrow{v_n} + xnP \, \frac{d \, \theta}{dt} \,  \widehat{yn} -  ynP \, \frac{d \, \theta}{dt} \,  \widehat{xn} =  \overrightarrow{V} + \overrightarrow{v_n} + \frac{d \, \theta}{dt} * \left (xnP \, \widehat{yn} - ynP \, \widehat{xn} \right ) $

Porém, como $\widehat{yn} \, = \, \widehat{zn} \times \widehat{xn}$  e  $\widehat{xn} \, = \, -\widehat{zn} \times \widehat{yn}$, onde $\times$ é o produto vetorial e sabendo que a velocidade angular tem direção $\widehat{zn}$, temos:

$\left (xnP \, \widehat{yn} - ynP \, \widehat{xn} \right ) \, = \, \overrightarrow{\omega} \times \overrightarrow{r_n}$

Desta forma:

$\frac{d \overrightarrow{r}}{dt} \, = \,  \overrightarrow{v} \, = \,  \overrightarrow{V} + \overrightarrow{v_n} +  \left ( \overrightarrow{\omega} \times \overrightarrow{r_n} \right )$

Para obtenção das acelerações, basta que derivemos mais uma vez:

$ \overrightarrow{a} \, = \, \frac{d \, \overrightarrow{V}}{dt} + \frac{d\,\overrightarrow{v_n}}{dt} + \frac{d \left ( \overrightarrow{\omega} \times \overrightarrow{r_n} \right )}{dt}$

Mas, de forma similar obtemos que:

$\frac{d \,  \overrightarrow{V}}{dt} \, = \,  \overrightarrow{A}$  que seria a aceleração com que o referencial não inercial se afasta do referencial inercial.

$\frac{d \,  \overrightarrow{v_n}}{dt} \, = \,  \overrightarrow{a_n} \, + \, \overrightarrow{\omega} \times \overrightarrow{v_n}$

$\frac{d \left ( \overrightarrow{\omega} \times \overrightarrow{r_n} \right )}{dt} \, = \, \frac{d\, \overrightarrow{\omega}}{dt} \times  \overrightarrow{r_n} \, + \, \overrightarrow{\omega} \times \frac{d \, \overrightarrow{r_n}}{dt}$

onde, já foi mostrado que:

$\frac{d \, \overrightarrow{r_n}}{dt} \, = \,  \overrightarrow{v_n} \, + \, \overrightarrow{\omega} \times \overrightarrow{r_n}$

Assim:

$ \overrightarrow{a} \, = \, \overrightarrow{A} + \overrightarrow{a_n} \, + \, \overrightarrow{\omega} \times \overrightarrow{v_n} + \frac{d\, \overrightarrow{\omega}}{dt} \times  \overrightarrow{r_n} \, + \, \overrightarrow{\omega} \times \left [\overrightarrow{v_n} \, + \, \overrightarrow{\omega} \times \overrightarrow{r_n} \right]$

Que pode ser escrito como:

$ \overrightarrow{a} \, = \, \overrightarrow{A} + \overrightarrow{a_n} \, + \,2 \overrightarrow{\omega} \times \overrightarrow{v_n} + \frac{d\, \overrightarrow{\omega}}{dt} \times  \overrightarrow{r_n} \, + \, \overrightarrow{\omega} \times \left (\, \overrightarrow{\omega} \times \overrightarrow{r_n} \right)$

Multiplicando pela massa todos os termos, temos a força que age no corpo, assim teremos:

$ m*\overrightarrow{a} \, = \, m*\overrightarrow{A} + m*\overrightarrow{a_n} \, + \,2m* \overrightarrow{\omega} \times \overrightarrow{v_n} + m*\frac{d\, \overrightarrow{\omega}}{dt} \times  \overrightarrow{r_n} \, + \, m*\overrightarrow{\omega} \times \left (\, \overrightarrow{\omega} \times \overrightarrow{r_n} \right)$

Mudando para força (F):

$ F \, = \, m*\overrightarrow{A} + \overrightarrow{F_n} \, + \,2m* \overrightarrow{\omega} \times \overrightarrow{v_n} + m*\frac{d\, \overrightarrow{\omega}}{dt} \times  \overrightarrow{r_n} \, + \, m*\overrightarrow{\omega} \times \left (\, \overrightarrow{\omega} \times \overrightarrow{r_n} \right)$

Podendo ser escrito da seguinte forma:

$ F \, - \, m*\overrightarrow{A} = \overrightarrow{F_n} \, + \,2m* \overrightarrow{\omega} \times \overrightarrow{v_n} + m*\frac{d\, \overrightarrow{\omega}}{dt} \times  \overrightarrow{r_n} \, + \, m*\overrightarrow{\omega} \times \left (\, \overrightarrow{\omega} \times \overrightarrow{r_n} \right)$

Perceba que se o referencial fosse inercial, o lado esquerdo da igualdade deveria ser nulo segundo a 2ª Lei de Newton. Isolando a força $\overrightarrow{F_n}$ temos a 2ª Lei de Newton para um referencial não inercial e podemos "nomear" cada uma das forças (que na verdade são pseudo forças, pois são reações aparentes que uma partícula sente num referencial não inercial) que ficam do lado direito da igualdade, segundo cada um dos físicos que às descobriram:

$\overrightarrow{F_n} \, = \,  F \, - \, \overbrace{m*\overrightarrow{A}}^{Einstein} \, - \, \overbrace{2m* \overrightarrow{\omega} \times \overrightarrow{v_n}}^{Coriolis} - \overbrace{m*\frac{d\, \overrightarrow{\omega}}{dt} \times  \overrightarrow{r_n}}^{Euler} \, - \, \overbrace{m*\overrightarrow{\omega} \times \left (\, \overrightarrow{\omega} \times \overrightarrow{r_n} \right)}^{Centrífuga}$


Veja que todas elas têm sinal '-' pois representam "reações". A seguir alguns comentários com relação a essas forças.

A pseudo força Centrífuga é facilmente percebida quado estamos num carro, por exemplo, e ele faz uma curva. Neste caso, há uma tendência de sermos empurrados para fora do carro (ou para fora da curva). Esta tendência é a reação da força centrípeta, que age no carro puxando-o para dentro.

A pseudo força de Euler ocorre quando há variação da velocidade angular. Ela tem direção oposta à variação da velocidade angular. Imagine um disco girando e você sobre ele em pé e imóvel. Se a velocidade angular for constante irá agira a força centrípeta na direção radial, porém se a velocidade angular começar a aumentar, é possível que você se desequilibre e caia para trás ou para frente (dependendo se a velocidade angular aumenta ou diminui). Esta é a pseudo força de Euler. Note que não houve ação de força nenhuma mas sim um torque que fez com que o disco girasse mais rápido, assim a aceleração angular fez aumentar a velocidade tangente no ponto em que você estava em pé e com isso, aumentou-se a força de atrito entre você e o disco. Surgiu uma força, portanto, devido ao aumento da velocidade angular. A reação a esta força é a pseudo força de Euler. 

A pseudo força de Coriolis é percebida, por exemplo, na brincadeira em que um pessoa, sentada em uma cadeira, gira com os braços abertos. Em determinado momento, ao puxar os braços em direção ao corpo sua velocidade de rotação aumenta. Para um observador que vê de fora o que esta ocorrendo, nada se altera o que ocorre é apenas a conservação do momento angular. Porém a pessoa sentada na cadeira sente que, ao puxar seus braços em direção ao corpo estes tendem a girar mais rápido, já que sua distância em relação ao eixo de rotação esta diminuindo. Desta forma, esta pessoa precisa fazer uma força "segurando seu braço" para que ele não gire mais rápido. Assim, todo o corpo irá aumentar sua velocidade angular. Neste caso, a pessoa sentada sente como se uma força fizesse acelerar sua rotação. Esta é a ação da pseudo força de Couriolis.

A pseudo força de Einstein  é uma reação ao movimento de translação do corpo, ela é diariamente percebido por nós. Por exemplo, quando um avião vai decolar e somos "empurrados para trás. Outro exemplo interessante é o de um bloco sobre um plano inclinado. Se não houver atrito este bloco vai escorregar para baixo. Porém, se este plano inclinado for acelerado. Haverá uma aceleração onde o bloco ficará parado sobre o plano, sem escorregar pois a aceleração do plano inclinado será igual à aceleração que tende a fazer o bloco escorregar. Esta pseudo força é chamada de Força de Einstein.
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Exercício Resolvido - Probabilidade: VESTIBULAR UERJ 2011

VESTIBULAR UERJ 2011 - QUESTÃO 34 SOBRE PROBABILIDADE

Uma fábrica produz sucos com os seguintes sabores: uva, pêssego e laranja. Considere uma caixa
com 12 garrafas desses sucos, sendo 4 garrafas de cada sabor.
Retirando-se, ao acaso, 2 garrafas dessa caixa, a probabilidade de que ambas contenham suco com o mesmo sabor equivale a:
(A) 9,1%
(B) 18,2%
(C) 27,3%
(D) 36,4%

Solução:
Este exercício deve ser feito em duas "etapas". A primeira onde temos 12 garrafas de suco na caixa e uma delas é retirada. A segunda etapa ocorre quando vamos retirar a segunda garrafa de suco, pois agora já não são mais 12 garrafas que temos na caixa, e sim 11. Além disso, se desejamos retirar duas garrafas de suco do mesmo sabor, ao retirar o segundo suco terão apenas 3 garrafas do sabor que desejamos, e não 4 como antes. Entendendo isso, vamos ao exercício:







No primeiro momento temos 12 garrafas dentro da caixa e retiramos uma delas. Perceba que o exercício não especifica qual suco que ele quer que sejam tirados, mas apenas que devem ser dois do mesmo sabor, neste caso, podem ser dois sucos de uva, pêssego ou laranja. Assim, ao retirar o primeiro suco, podemos retirar de qualquer sabor, e isso claro, tem 100% de chance de acontecer já que a probabilidade de retirar qualquer suco de dentro da caixa é 1.

No segundo momento, temos apenas 11 sucos na caixa e, agora sim, desejamos tirar um suco do mesmo sabor do primeiro. Neste caso, temos apenas 3 garrafas na caixa que possui 11 sucos. Aqui, a probabilidade será de:
$$P \, = \, \frac{3}{11} \, \approx \, 27,3%$$

Como a primeira probabilidade é 100%, então ela não interfere no resultado final. Logo,  resposta é letra (C).
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Exercício Resolvido - Resistência Equivalente: VESTIBULAR UERJ 2011

VESTIBULAR UERJ 2011 - QUESTÃO 26 SOBRE RESISTÊNCIA EQUIVALENTE EM PARALELO

Observe a representação do trecho de um circuito elétrico entre os pontos X e Y, contendo três resistores cujas resistências medem, em ohms, a, b e c.
Exercício resolvido de resistência equivalente

Admita que a sequência (a, b, c) é uma progressão geométrica de razão $\frac{1}{2}$ e que a resistência
equivalente entre X e Y mede 2,0 Ω.
O valor, em ohms, de (a + b + c) é igual a:
(A) 21,0
(B) 22,5
(C) 24,0
(D) 24,5

Solução:
Da figura podemos perceber que as três resistências estão em paralelo. Desta forma, pela fórmula para obtenção da resistência equivalente quando temos resistências em paralelo temos:
$$\frac{1}{R_{eq}} \, = \, \frac{1}{a} \, + \, \frac{1}{b} \, + \, \frac{1}{c}$$

Assim, podemos fazer a soma das frações do lado direito da igualdade para poder obter o valor da resistência equivalente:

$\frac{1}{R_{eq}} \, = \, \frac{bc}{abc} \, + \, \frac{ac}{abc} \, + \, \frac{ab}{abc}$

$\frac{1}{R_{eq}} \, = \, \frac{bc \, + \, ac \, + \, ab}{abc}$

$R_{eq} \, = \, \frac{abc}{bc \, + \, ac \, + \, ab}$

Mas o exercício nos diz que (a, b, c) formam uma Progressão Geométrica (Veja Tudo sobre Progressão Geométrica), então:

$b \, = \, a q$

$ c \, = \, b q \, = \, a q^2 $

Substituindo estes resultados na equação temos:

$R_{eq} \, = \, \frac{a \times aq \times aq^2}{aq \times aq^2 \, + \, a \times aq^2 \, + \, a \times aq}$

$R_{eq} \, = \, \frac{a^3 \times q^3}{a^2 \times q^3 \, + \, a^2 \times q^2 \, + \, a^2 \times q}$

$R_{eq} \, = \, \frac{a^3 \times q^3}{a^2 q \times \left (q^2 \, + \, q \, + \, 1 \right )}$




Simplificando, temos:

$R_{eq} \, = \, \frac{a \times q^2}{q^2 \, + \, q \, + \, 1}$

Veja também:
Exercício Resolvido - Resistência equivalente

Mas o exercício nos informa que $q \, = \, \frac{1}{2}$  e  $R_{eq} \, = \, 2 \, Ω$.  Substituindo:

$2 \, = \, \frac{a \times \frac{1}{2}^2}{\frac{1}{2}^2 \, + \, \frac{1}{2} \, + \, 1} \, = \, \frac{\frac{a}{4}}{\frac{1}{4} \, + \, \frac{1}{2} \, + \, 1} \, = \, \frac{\frac{a}{4}}{\frac{7}{4}} \, = \, \frac{a}{7}$

Temos, portanto que o valor de a é:

$a \, = \, 14 \, Ω$

Logo, pelas relações que obtemos acima onde b = aq e c = aq², para q = 1/2 temos:

$b \, = \, 7 \, Ω$

$c \, = \, 3,5 \, Ω$

Logo:
$a \, + \, b \, + \, c \, = 24,5 \, Ω $

Resposta (D)
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Exercício Resolvido - Queda livre: VESTIBULAR UERJ 2011

Vestibular UERJ 2011 questão 22 sobre queda livre

Um trem em alta velocidade desloca-se ao longo de um trecho retilíneo a uma velocidade constante de 108 km/h. Um passageiro em repouso arremessa horizontalmente ao piso do vagão, de uma altura de 1 m, na mesma direção e sentido do deslocamento do trem, uma bola de borracha que atinge esse piso a uma distância de 5 m do ponto de arremesso.
O intervalo de tempo, em segundos, que a bola leva para atingir o piso é cerca de:
(A) 0,05
(B) 0,20
(C) 0,45
(D) 1,00

Solução:
Inicialmente é preciso fazer a conversão das unidades para haver consistência:

$V \, = \, 108 \, km/h \, = \, \frac{108}{3,6} \, m/s \, = \, 30 \, m/s$
$h \, = \, 1 \, m$
$d \, = \, 5 \, m$

Como pode ser visto na figura ilustrativa abaixo a bola irá realizar um movimento de um lançamento oblíquo. Isto ocorre pois a velocidade horizontal da bola é a velocidade que o passageiro vai lançar ela. Porém, o cálculo do tempo que a bola vai levar para chegar ao chão em nada tem a ver com a velocidade de lançamento e tampouco com a velocidade do trem. Uma característica do lançamento oblíquo é a independência dos movimentos verticais e horizontais, assim, o tempo que a bola vai levar para chegar ao solo irá depende apenas do seu movimento de queda livre, ou seja, da ação da gravidade sobre a bola.

UERJ Queda Livre MRUV
Trajeto da bola (vermelha) dentro do trem (azul). A bola percorre verticalmente um movimento de queda livre (MRUV) e, horizontalmente, um Movimento Retilíneo Uniforme (MRU).
Como o valor da gravidade não é fornecido, chamarei de g e se for necessário usar algum valor numérico farei isso no fim do exercício.
Assim, na vertical a bolinha percorre um movimento de queda livre com velocidade inicial nula, pois e bola só tem velocidade inicial na horizontal:

$h \, = \, \frac{g t^2}{2}$

$1 \, = \, \frac{g t^2}{2}$

$2 \, = \, g t^2$

$t \, = \, \sqrt{\frac{2}{g}}$
Exercício Resolvido - Queda Livre: ITA 2003

Como ele pede uma resposta aproximada (no enunciado está "O intervalo de tempo (...) é cerca de:"), podemos adotar que $g \, \approx \, 10 \, m/s^2$, assim:

$t \, = \, \sqrt{\frac{2}{10}}$

$t \, = \, \sqrt{0,2}$

$t \, \approx \, 0,45 \, s$

A resposta correta é (C).
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Ressonância - Exercício, teoria e animação

Uma forma interessante e de fácil compreensão para se entender o fenômeno da ressonância é pensarmos em uma mola sem massa suspensa verticalmente onde, em um de seus extremos (extremo A) há uma massa,
e no outro (extremo B) uma pessoa segurando. Assim, esta pessoa ao movimentar este extremo B verticalmente com uma dada frequência f, faz com que a massa oscile. De uma forma intuitiva, percebe-se com este experimento que com frequências diferentes, a massa terá oscilações diferentes. Porém, uma destas frequências faz com que a mola tenha sua amplitude de oscilação maximizada. Temos então uma frequência de ressonância deste conjunto massa-mola.

É percebido experimentalmente que qualquer corpo oscilante, por não ser ideal, apresenta um coeficiente de amortecimento que limita sue movimento. Este coeficiente é modelado como sendo proporcional à velocidade de oscilação. Seria semelhante ao caso de um amortecedor de um carro, que limita a oscilação da mola, o que torna o movimento oscilatório mais confortável para o passageiro.

Exercício:
Seja um conjunto massa mola onde a constante elástica da mola vale k, a massa suspensa em A tem valor m e no seu extremo B, atua uma força oscilante que faz o ponto B variar conforme a equação F = Fo*Sen(w t), onde Fo determina a amplitude de deslocamento de B, w é a frequência de oscilação em rad/s e t o tempo. Obtenha a equação diferencial que descreve este movimento e com isso calcule a frequência de ressonância.



Solução:
Inicialmente devemos equacionar o sistema. A força peso não precisa ser levada em consideração neste caso já que ela é equilibrada pela força da mola, que se deforma conforme figura anterior. Basta, portanto, que se considere a posição da mola já deformada, como uma posição inicial.
O exercício fala que exite uma força oscilante aplicada no ponto B. Como a massa da mola é desprezada, então toda força que for aplicada em B será transmitida para a massa em A. Agem, também as forças devido ao movimento da compressão e expansão da mola que são as forças proporcionais à constante k e à constante c. A primeira, proporcional à compressão ou expansão da mola, a outra, à velocidade com que isso ocorre. Assim temos:

$$m \frac{d^2y}{dt^2} \, = \, -c \frac{dy}{dt} \, - \, k y \, + \, F_0 \times Sen \left ( w t \right ) $$

Desta forma temos:

$$m \frac{d^2y}{dt^2} \, + \, c \frac{dy}{dt} \, + \, k y \, = \, F_0 \times Sen \left ( w t \right ) $$

como a força de excitação é oscilante, podemos dizer que ela é do tipo:

$F(t) \, = \, F_0 \times e^{i w t}$

onde $i \, = \, \sqrt{-1}$

Neste caso, supomos que a solução da equação diferencial tem a mesma forma:

$$ y(t) = Y e^{i w t} $$

Substituindo na equação diferencial obtemos que:

$$ m \times (-w^2) \times Y e^{i w t} + c \times (i w) \times Y e^{i w t} + k \times Y e^{i w t} = F_0 \times e^{i w t} $$

Podemos dividir tudo por $e^{i w t}$:

$$ Y \times \left [ m \times (-w^2) + c \times (i w) + k \right ] = F_0 $$


Perceba que a equação acima possui o termo Y do lado esquerdo da igualdade que multiplica todos os termos. Ele é a amplitude de y(t). Do outro lado da igualdade temos F0 que é a amplitude da força aplicada. É conveniente definirmos uma função que estabeleça a relação destas amplitudes já que a ressonância ocorre quando a amplitude da excitação é máxima. Assim, podemos relacionar o ganho de amplitude Y dada uma amplitude de força F0.

$$ \alpha(w) \, = \, \frac{Y}{F_0} \, = \, \frac{1}{\left(k - m w^2 \right) + i \left ( c w \right ) } $$

Porém, é uma equação complexa que pode ser calculada em módulo e fase, onde seu módulo é que representa o ganho que desejamos, e ele é dado por:

$$ | \alpha(w) | \, = \, \frac{1}{\sqrt{\left(k - m w^2 \right)^2 + \left ( c w \right )^2 }} $$

Da equação do módulo podemos calcular qual deve ser o valor de $w$ que maximiza $| \alpha(w) |$. Temos como resultado:

$$ w_{máx} \, = \, \sqrt{\frac{k}{m} - \frac{c^2}{2m^2}} $$

Este resultado é conhecido como a frequência de ressonância do sistema, ou seja, se a força aplicada oscilante tiver como frequência wmáx, então o deslocamento y(t) da massa na outra extremidade será máximo, considerando que são mantidos todos os outros parâmetros constantes.
Além disso, é possível perceber que o amortecimento interfere na frequência de ressonância, porém pouco. Veja que se c = 0, a frequência de ressonância seria $\sqrt{\frac{k}{m}}$. Se usarmos os dados abaixo onde k = 10 e m = 1, teríamos $\sqrt{\frac{k}{m}} \approx 3,16$. Com o c = 0,6 o valor altera muito pouco (3,13).

Veja o exemplo abaixo onde definimos valores às constantes:
m = 1 kg
k = 10 N/m
c = 0,6 N s/m
F(t) = 1*Cos(w t)

Temos assim que a frequência de ressonância é dada por:

$$w_{máx} \, = \, \sqrt{\frac{10}{1} - \frac{0,36}{2}} \approx 3,13 \, rad/s$$

Adotando uma frequência w = 10 rad/s temos que o módulo do ganho será:

$$ | \alpha(w) | \, = \, \frac{1}{\sqrt{\left(10 - 1 \times 3,13^2 \right)^2 + \left ( 0,6 \times 3,13 \right )^2 }} \, = \, \frac{1}{\sqrt{\left(0,18 \right)^2 + \left ( 1,88 \right )^2 }} \, \approx \, 0,5 $$

Ou seja, como $|\alpha(w)| \, = \, |Y/F_0| \, = \, 0,5$, então, para F0 = 1, teremos Y = 0,5.

Obs.: Abaixo, é possível ver um vídeo com a simulação deste exercício e a própria simulação. Para quem desejar visualizar a simulação e variar os parâmetros para ver como o sistema se comporta, precisará baixar e instalar um arquivo do Wolfram (software onde a simulação foi feita).




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Exercício Resolvido - 5 Exercícios de MRUV e MRU

Veja 5 exercícios resolvidos de MRUV e MRU.



1 - O gráfico abaixo mostra a velocidade de dois ciclistas (C1 e C2) em função do tempo. Ambos partem
da posição inicial zero pata t = 0 e percorrem trajetórias retilíneas no mesmo sentido. Com base nos dados da figura, determine:
a) o valor da aceleração do ciclista C1 no instante t = 5 s;
b) a distância entre os ciclistas no instante em que eles têm a mesma velocidade.

Exercício Resolvido de MRU
Gráfico da velocidade do ciclista 1 (em azul) e do ciclista 2 (em vermelho). É possível verificar que ambos desenvolvem um movimento MRUV inicialmente, e depois MRU.

2 - Numa prova de 100 m rasos, um atleta consegue percorrê-los em 10 s. O gráfico a seguir mostra,
aproximadamente, como varia a velocidade deste atleta durante a prova. Com isso determine:
a) qual a velocidade média durante os 10 s.
b) estime, a partir do gráfico, um valor razoável para vf.
Gráfico da velocidade do atleta nos 10 s de duração da prova
.
3 - A maior aceleração (ou desaceleração) que é desejável que os passageiros de um trem urbano sintam é de 2 m/s². Se a distância entre duas estações consecutivas é de 800 m e supondo que o trem pare em todas as estações, calcule:
a) a máxima velocidade que o trem pode atingir.
b) o tempo mínimo que o trem deve levar de uma estação até a outra.


4 - Um objeto parte do repouso de um ponto A e percorre, em Movimento Retilíneo Uniformemente Variado um trecho até outro ponto B. No mesmo instante em que o primeiro objeto parte de A para B, outro parte de B em direção à A em Movimento Retilíneo Uniforme (velocidade constante). A distância entre A e B é de 50 m. Depois de 10 s da partida, os objetos se cruzam exatamente no meio do percurso AB. Com isso, calcule:
a) a velocidade do móvel que partiu de B.
b) a velocidade do objeto que partiu de A chegará em B.

5 - Um ciclista se desloca de acordo com a equação S = 40 + 10t + t² com dados no SI. Com isso, determine:
a) a posição inicial do ciclista, a velocidade inicial do ciclista e a aceleração do ciclista
b) sua posição S e velocidade V quando o tempo for 10 s

Soluções:
Exercício 1 - 
a) A equação da velocidade é dada por:
$ V_{C1} \, = \, V_{0C1} \, + \, a_{C1} t $
Como para t = 0, V0C1 = 0, temos:
$ V_{C1} \, = \, 0 \, + \, a_{C1} t $
Porém, no gráfico a reta passa pelo ponto VC1 = 4 m/s, t = 10 s. Então:
$ 4 \, = \, 10a_{C1} \,  \rightarrow \, a_{C1} \, = \, 0,4 m/s^2 $
Como a velocidade de C1 cresce linearmente no trecho de 0 s até 10 s, então sua aceleração é constante. Assim, neste intervalo de tempo, $ a_{C1} \, = \, 0,4 \, m/s^2 $

b) Vendo o gráfico percebemos que há uma intersecção dos gráficos. 

Ponto onde ambos os ciclistas possuem a mesma velocidade marcado com um círculo em preto

Como este é um gráfico da velocidade pelo tempo, a intersecção ocorre quando ambos têm a mesma velocidade e, é possível perceber que ela ocorre quando o ciclista C2 já está com velocidade contante de 2,4 m/s. Agora, é preciso saber qual o tempo, porém isso fica simples da saber pois já temos a equação da velocidade do ciclista C1 até 10 s.
$ V_{C1} \, = \, 0,4 t \, \rightarrow \, V_{C1} \, = \, 2,4 \, \rightarrow \, t \, = \, \frac{2,4}{0,4} \, = \, 6 \, s$
Então:
$$V_{C1} \, = \, 0,4 t $$

Agora, é preciso calcular a posição de cada um dos ciclistas para saber a diferença entre elas, assim temos a distância entre eles:
A equação da posição em MRUV é:
$ S \, =\, S_0 \, + \, V_0 t \, + \, \frac{at^2}{2} $


No caso do exercício temos que até 6 s, o ciclista C1 esteve unicamente em movimento MRUV, pois o gráfico de sua velocidade manteve-se como uma reta crescente sem mudança brusca de inclinação. Porém, não pode-se dizer o mesmo do ciclista C2, que no tempo t = 5 s sua velocidade passa a ser constante. Assim, ele desenvolve um Movimento Retilíneo Uniformemente Variado até o tempo de 5 s e a partir daí, mantém sua velocidade constante de 2,4 m/s. Precisamos, portanto, saber qual é a equação da velocidade do ciclista C2 até t = 5s.
$V_{C2} \, = \, V_{0C2} \, + \, a_{C2} t $
Da mesma forma o seu gráfico começa com V0C2 = 0 e passa pelo ponto VC2 = 2,4 quando t = 5. Assim, substituindo esse valores na equação temos:
$2,4 \, = \, 5 a_{C2} \, \rightarrow \, a_{C2} \, = \, \frac{2,4}{5} \, \rightarrow \, a_{C2} \, = \, 0,48 m/s^2 $
Então:
$$V_{C2} \, = \, 0,48 t $$

A posição de C1 quando t = 6 s:
$S_{C1} \, = \, \frac{0,4 \times 6^2}{2} \, \rightarrow \, S_{C1} \, = \, 7,2 \, m$

A posição de C2 quando t = 6 s deve ser calculada somando os dois trechos, já que ele desenvolve um Movimento Retilíneo Uniformemente Variado até 5 s e um Movimento Retilíneo Uniforme a partir deste tempo. Assim, calculamos o deslocamento de C2 até t = 5 s:

$S_{C2} \, = \, \frac{0,48 \times 5^2}{2} \, \rightarrow \, S_{C2} \, = \, 6 \, m$
Distância percorrida no intervalo de tempo t = 5 s até t = 6 s, ou seja, em apenas 1 segundo. Aqui, como não há aceleração pois a velocidade é constante (V = 2,4 m/s), basta usar a mesma equação porém com aceleração nula (isso irá resultar a equação da posição de MRU)
$S_{C2} \, = \, 2,4 t \, + \, \frac{0 \times t^2}{2} \, \rightarrow \, S_{C2} \, = \, 2,4 \times 1 \, = \, 2,4 \, m$

Assim, a distância percorrida pelo ciclista C2 será de:
$S_{C2} \, = \, 6 \, + \, 2,4 \, = \, 8,4 \, m$

A distância entre eles será de 8,4 - 7,2 = 1,2 m
Exercício 2 -
a) Como o atleta percorre 100 m em 10 s, sua velocidade média será de:
$V_{média} \, = \, \frac{100}{10} \,= \, 10 \, m/s^2$

b) Aproximando o gráfico na primeira parte por uma reta, até t = 5 s temos:


Como mostrado em amarelo, a aproximação fica abaixo do real. Há duas áreas formadas pelas curvas; uma primeira fica acima da reta o que garante que a reta esta sub-estimando a velocidade; e uma segunda que fica abaixo da reta, próxima do ponto marcado em preto, que super-estima a velocidade. Porém, visivelmente a primeira área é muito superior à segunda, o que garante que a aproximação por reta é sub-estimada, ou seja, o deslocamento calculado no primeiro intervalo usando a reta será inferior ao real deslocamento. Porém, vamos calcular quando seria vf se os gráficos fossem as retas:

Precisamos, primeiramente, calcular a aceleração no primeiro trecho, imaginando que seja uma eta:
$V_f \, = \, V_0 \, + \, a t $
Como V0 = 0 e o tempo final é t = 5 s
$V_f \, = \, a \times 5 \, \rightarrow \, a \, = \, \frac{V_f}{5} $
Assim, o deslocamento no primeiro trecho será:
$S_1 \, = \, S_0 \, + \, V_0 \times t \, + \, \frac{a \times t^2}{2} $
$S_1 \, = \, 0 \, + \, 0 \times t \, + \, \frac{\frac{V_f}{5} \times 5^2}{2} $
$S_1 \, = \, \frac{5 V_f}{2} $

No segundo treco ( entre t = 5 s e t = 10 s, ou seja, num intervalo de tempo de 5 s) a velocidade foi aproximada para uma constante, V = Vf. Neste trecho, o deslocamento é dado por:
$S_2 \, = \, V_f \times t $
$S_2 \, = \, V_f \times 5  \, \rightarrow \, S_2 \, = \, 5V_f$

O deslocamento total será:
$S_{total} \, = \, \frac{5 V_f}{2} \, + \,5V_f \, = \, \frac{15V_f}{2} $
Mas o deslocamento total é de 100 m:
$100 = \, \frac{15V_f}{2} \, \rightarrow \, V_f \, \approx 13,333333333333$

Porém, como sabemos que o primeiro trecho o deslocamento foi um pouco maior, ou seja:
$S_{total\,real} \, = \,  \frac{15V_f}{2} \,  +  \, \delta $
Desta forma, o $S_{total\, real}$ será um pouco maior, o que irá causar uma leve redução de Vf. Assim, um valor bastante coerente para Vf é de 13 m/s.
Exercício 3 -
a) A situação de maior velocidade será se o trem partir com aceleração de 2 m/s² a, no meio do trajeto, desacelerar a 2 m/s². Neste caso, ele irá percorrer 400 m com aceleração de 2 m/s² e 400 m com a desaceleração de mesma intensidade. Usando a equação de Torricelli temos:
$$V^2 \, = \, V_0^2 \, + \, 2 \times a \times d$$
onde d é o deslocamento. Neste caso, temos d = 400 m, a = 2 m/s² e como ele parte do repouso, $V_0 = 0$, então:
$$V_{máxima}^2 \, = \, 0^2 \, + \, 2 \times 2 \times 400 \, = \, 1600 \, \rightarrow \, V_{máxima} \, = \, 40 \, m/s $$

b) O tempo pode ser calculado pela equação da velocidade. Na primeira metade ele alcança a velocidade de 40 m/s, assim:
$ V \, = \, V_0 \, + a t$
$ 40 \, = \, 0 \, + \,  2 \times t \, \rightarrow \, t \, = \, 20 \, s$
Como a primeira metade do trajeto é percorrida com aceleração de 2 m/s² e, da mesma forma, a segunda metade é percorrida com desaceleração de 2 m/s², o tempo de cada trecho é o mesmo. Assim o tempo total será de 40 s.
Exercício 4 -
a) O objeto que parte de A se desloca em MRUV. Assim, sua posição é dada por:
$S_A \, = \, S_{0A} \, + \, V_{0A} \times t \, + \, \frac{a \times t^2}{2}$
Como ele parte do repouso e desconsiderando sua posição inicial, temos:
$S_A \, = \, 0 \, + \, 0 \times t \, + \, \frac{a \times t^2}{2}$
$S_A \, = \, \frac{a \times t^2}{2}$

O objeto que parte de B, se desloca em MRU:
$S_B \, = \, V_B \times t$

O exercício fala que após 10 s eles se encontram no meio do percurso, ou seja, eles percorreram 25 m. Assim, $S_B \, = \, 25 \, m$ e $S_A \, = \, 25 \, m$.
Substituindo na equação de SB para calcular sua velocidade, temos:
$$S_B \, = \, V_B \times t \, \rightarrow \, 25 \, = \, V_B \times 10 \,  \rightarrow \, V_B \, = \, 2,5 \, m/s$$

b) Substituindo os dados na equação de SA temos:
$S_A \, = \, \frac{a \times t^2}{2}$
$25 \, = \, \frac{a \times 10^2}{2}$
$25 \, = \, 50a \, \rightarrow \, a \, = \, 0,5 \, m/s^2$

Usando a equação de Torricelli temos:
$V_A^2 \, = \, V_{A0}^2 \, + \, 2 \times a \times d$

Substituindo os valores para saber a velocidade do objeto que partiu de A no ponto B:
$V_A^2 \, = \, 0^2 \, + \, 2 \times 0,5 \times 50$
$$V_A^2 \, = \, 2 \times 0,5 \times 50 \, = \, 50 \, \rightarrow \, V_A \, = \, \sqrt{50} \, \approx \, 7,07 \, m/s$$
Exercício 5 -
a) Neste exercício basta saber que a equação de movimento é dada por:
$S \, = \, S_0 \, + \, V_0 \times t \, + \, \frac{a \times t^2}{2} $
Como ele se desloca de acordo com a equação:
$S \, = \, 40 \, + \, 10 \times t \, + \, t^2 $

Então:
Posição inicial S0 = 40 m
Velocidade inicial V0 = 10 m/s
Aceleração a = 2 m/s²

b) Para o tempo de 10 s, a sua posição será:
$S \, = \, 40 \, + \, 10 \times 10 \, + \, 10^2 \, = \, 240 \, m$
Como a velocidade em MRUV é dada pela equação:
$V \, = \, V_0 \, + a \times t$
Temos, no tempo 10 s:
$V \, = \, 10 \, + \, 2 \times 10 \, = \, 30 \, m/s$
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Exercício Resolvido - Multiplicadores de Lagrange

Encontre os valores de máximo e mínimo global da função
$$ f(x,y) \, = \, y^2 \, - \, y^4 \, - \, x^2 $$

na região definida por
$$ x^2 \, + \, 4y^2 \, \leq \, 10 $$

Solução:
Este tipo de exercício deve ser feito utilizando a teoria de Multiplicadores de Lagrange. No caso, o conjunto definido por $ x^2 \, + \, 4y^2 \, \leq \, 10 $ é um conjunto compacto e portanto, como f(x,y) é contínua, ela assume máximo e mínimo em $ x^2 \, + \, 4y^2 \, \leq \, 10 $, porém, eles são pontos críticos referentes a máximos e mínimos locais da função f ou pontos da fronteira, onde $ x^2 \, + \, 4y^2 \, = \, 10 $. Neste caso devemos calcular os pontos críticos de f e os pontos críticos de f segundo a condição $ x^2 \, + \, 4y^2 \, = \, 10 $, utilizando os multiplicadores de Lagrange.

Cálculo dos pontos críticos de f:
$ \frac{∂f}{∂x} \, = \, -2x \, = \, 0 \, \rightarrow \, x \, = \, 0 $
$ \frac{∂f}{∂y} \, = \, 2y \, - \, 4y^3 \, = \, 2y \left ( 1 \, - \, 2y^2 \right ) \, = \, 0 \, \rightarrow \, \left \{ \begin{array}{c} y \, = \, 0 \\ y \, = \, \pm \, \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{array} \right. $
Pontos $\rightarrow \, \left (0,0 \right) \,  , \, \left(0, \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \, , \, \left(0, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$

Todos eles pertencem à região $ x^2 \, + \, 4y^2 \, \leq \, 10 $

Assim, devemos observar o seguinte teorema:
Teorema: Dada a função $ f: \, \Re ^2 \rightarrow \Re $ e $ (x_0, y_0) $ um ponto crítico de $ f $. Então:
a) Se det[H] no ponto $ (x_0, y_0) $ for menor que zero, então $ (x_0, y_0) $ é um ponto de sela;
b) Se det[H] no ponto $ (x_0, y_0) $ for maior que zero e também no ponto $ (x_0, y_0), \,  \frac{∂^2f}{∂x^2} \, > \, 0 $ então $ (x_0, y_0) $ é um ponto de mínimo local;
c) Se det[H] no ponto $ (x_0, y_0) $ for maior que zero e também no ponto $ (x_0, y_0), \,  \frac{∂^2f}{∂x^2} \, < \, 0 $ então $ (x_0, y_0) $ é um ponto de máximo local e;
d) Se det[H] no ponto $ (x_0, y_0) $ for igual a zero, então nada podemos afirmar.

Derivadas parciais de segunda ordem:
$ \frac{∂^2f}{∂x^2} \, = \, -2 $
$ \frac{∂^2f}{∂y^2} \, = \, 2 \, - \, 12y^2 $
$ \frac{∂^2f}{∂x∂y} \, = \, \frac{∂^2f}{∂y∂x} \, = \, 0 $

Determinante da Matriz Hessiana:
$$ \left | H \right | \, = \, \left| \begin{array}{cc} -2 & 0 \\ 0 & 2-12y^2 \\ \end{array} \right| \, = \, -2 \times \left ( 2 - 12 y^2 \right ) \, = \, -4 \, + \, 24y^2 $$

Para o ponto (0,0)
|H| = -4 $\rightarrow $ Ponto de Sela, logo não é nem máximo nem mínimo local e portanto, também não é global, por não ser um ponto da fronteira de $ x^2 \, + \, 4y^2 \, \leq \, 10 $.

Para o ponto $\, \left(0, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$
|H| = -4 + $ \frac{24}{2} $ =  8
$  \frac{∂^2f}{∂x^2} $ = -2 < 0 $\rightarrow $ Ponto de máximo local. Calculando $\, f \left(0, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \, = \, \frac{1}{4} $

Para o ponto $\left(0, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$
|H| = -4 + $ \frac{24}{2} $ =  8
$  \frac{∂^2f}{∂x^2} $ = -2 < 0 $\rightarrow $ Ponto de máximo local. Calculando $\, f \left(0, -\frac{1}{\sqrt{2}} \right) \, = \, \frac{1}{4} $

Cálculo dos pontos críticos na fronteira - pontos críticos de g(x,y) = f(x,y) + λ(x² + 4y² - 10) = y² - y⁴ - x² + λ(x² + 4y² - 10):
$$ \frac{∂g}{∂x} \, = \, -2x \, + \, 2λx \, = \, 2x \left ( λ \, - \, 1 \right ) \, = \, 0 $$
$$ \frac{∂g}{∂y} \, = \, 2y \, - \, 4y^3 \, + \, 8λy \, = \, 2y \left ( 1 \, - \, 2y^2 + 4λ \right ) \, = \, 0 $$

Assim, devemos resolver o sistema:

$$ \left \{ \begin{array}{l} 2x \left ( λ \, - \, 1 \right ) \, = \, 0 \\ 2y \left ( 1 \, - \, 2y^2 + 4λ \right ) \, = \, 0 \\  x^2 \, + \, 4y^2 \, = \, 10 \\ \end{array} \right. $$

Neste caso, como temos $ 2x \left ( λ \, - \, 1 \right ) \, = \, 0 $, então ou $x \, = \, 0$, ou $λ \, = \, 1$;
- Para $x \, = \, 0$, temos $x^2 \, + \, 4y^2 \, = \, 10$  onde obtemos $y \, = \, \pm \sqrt{\frac{5}{2}}$ $\rightarrow$  pontos: $ \left(0, \sqrt{\frac{5}{2}} \right) \, , \, \left (0, -\sqrt{\frac{5}{2}} \right)$. Calculando $f \left(0, \pm \sqrt{\frac{5}{2}} \right) \, = \, -\frac{15}{4}$

- Para $λ \, = \, 1$, temos $2y \left ( 1 \, - \, 2y^2 + 4λ \right ) \, = \, 0 $ onde obtemos:
$$ \left \{ \begin{array}{c} y \, = \, 0 \\ \left ( 5 \, - \, 2y^2 \right ) \, = \, 0 \, \rightarrow y \, = \, \pm \sqrt{\frac{5}{2}} \\ \end{array} \right. $$

Deste último caso:
$ y \, = \, 0 \,  , \, x \, = \, \pm \sqrt{10} \, \rightarrow \, \left ( \sqrt{10}, 0 \right) \, , \, \left ( -\sqrt{10},0 \right) \, \rightarrow \, f \left( \pm \sqrt{10},0 \right) \, = \, -10 $

Para $y \, = \, \pm \sqrt{\frac{5}{2}}$ o resultado é o obtido anteriormente, para x = 0.

Então, os pontos e os valores de f(x,y) na fronteira e no interior da região definida são:

Na fronteira:
Pontos: $\left( 0, \sqrt{\frac{5}{2}} \right) \, , \, \left (0, -\sqrt{\frac{5}{2}} \right) \, \rightarrow \,  f \left(0, \pm \sqrt{\frac{5}{2}} \right) \,  = \, -\frac{15}{4}$

Pontos: $ \left(\sqrt{10}, 0 \right) \, , \, \left (-\sqrt{10}, 0 \right) \, \rightarrow \, f \left ( \pm \sqrt{10}, 0 \right) \, = \, -10 $.

No interior:
Ponto: $ \left(0,0 \right) \, \rightarrow \, f \left(0,0 \right) \, = \, 0$

Pontos: $ \left(0, \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \, , \, \left (0, -\frac{1}{\sqrt{2}} \right) \, \rightarrow \, f \left ( 0, \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \, = \, \frac{1}{4}$

Logo, dos resultados obtidos, temos que -10 é o valor mínimo da função na região definida, $\frac{1}{4}$ é o valor máximo local e global na região definida, e $-\frac{15}{4}$ é um ponto de máximo na fronteira da região definida.

Veja também:
Exercício Resolvido - Geometria analítica e reta tangente
Exercício Resolvido - Pontos de máximo, mínimo e sela
Obs.: Perceba que na fronteira eu não calculei a segunda derivada para saber se os pontos são de máximo ou mínimo. Na verdade, por ser a função contínua na fronteira e, também na fronteira, ela ser uma curva e não uma superfície, não existe a possibilidade de haver um ponto de sela, neste caso ou o ponto crítico é de mínimo ou de máximo. Como nos pontos críticos da fronteira a função f(x,y) assume apenas dois valores (-10 e -15/4) então um deles só pode ser um ponto de máximo na fronteira e o outro só pode ser um ponto de mínimo na fronteira. Esta certeza existe pois sabemos que -15/4 > -10. Neste caso, para sair de -15/4 e chegar em -10 se o caminho não fosse unicamente crescente, certamente haveria outro ponto crítico que seria detectado nos cálculos.
Então, a certeza de que um deles é máximo na região da fronteira e o outro é mínimo na região da fronteira, vem do fato de eles serem pontos críticos, de existirem apenas 2 valores e da função ser uma curva e não uma superfície.
Abaixo, a superfície em amarelo, em azul a curva que marca a fronteira, em cinza os pontos $\left(0, \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ que são os pontos de máximo em toda a região, em vermelho os pontos $\left( \pm \sqrt{10}, 0 \right)$ que são pontos de minimo em toda região e em preto o ponto (0,0) que é ponto de sela e os pontos $\left(0, \pm \sqrt{\frac{5}{2}}\right)$ que são pontos de máximo na fronteira apenas:



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Exercício Resolvido - Pontos de máximo, mínimo e sela

Ache os pontos de máximo e mínimo locais e pontos de sela da função:
$$f(x,y) \, = \, x^4 \, + \, y^4 \, - \, 4xy \, + \, 1 $$

Solução:
Dado o seguinte teorema temos:
Teorema: Dada a função f(x, y): $ \Re ^2 \, \rightarrow \, \Re $ tal que existam pontos de máximo ou mínimo locais no interior do seu domínio. Se nestes pontos existirem as derivadas parciais de primeira ordem de f(x,y), então elas são nulas.

Com isso, calculamos as derivadas parciais da função f(x,y):
$ f_x(x,y) \, = \, 4x^3 \, - \, 4y $
$ f_y(x,y) \, = \, 4y^3 \, - \, 4x $

Fazendo $ f_x \, = \, f_y \, = \, 0 $.
$ x^3 \, = \, y $
$ y^3 \, = \, x $

Assim, temos que:
$ y^9 \, = \, x^3 \, = \, y $
$ x^9 \, = \, y^3 \, = \, x $

Que só admite soluções reais do tipo:
$$ (x,y) \, = \, (1,1) $$
$$ (x,y) \, = \, (-1,-1) $$
$$ (x,y) \, = \, (0,0) $$

Assim, esses são os potos críticos. Para saber se são pontos de máximo local, mínimo local ou de sela, temos que calcular as derivadas parciais de f de segunda ordem e o determinante da matriz Hessiana ( [H] ):

$$ \left| \begin{array}{cc} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \\ \end{array} \right| \, = \, f_{xx} \times f_{yy} \, - \, f_{xy}^2 $$

Assim, devemos observar o seguinte teorema:
Teorema: Dada a função $ f: \, \Re ^2 \rightarrow \Re $ e $ (x_0, y_0) $ um ponto crítico de $ f $. Então:
a) Se det[H] no ponto $ (x_0, y_0) $ for menor que zero, então $ (x_0, y_0) $ é um ponto de sela;
b) Se det[H] no ponto $ (x_0, y_0) $ for maior que zero e também no ponto $ (x_0, y_0), \,  \frac{∂^2f}{∂x^2} \, > \, 0 $ então $ (x_0, y_0) $ é um ponto de mínimo local;
c) Se det[H] no ponto $ (x_0, y_0) $ for maior que zero e também no ponto $ (x_0, y_0), \,  \frac{∂^2f}{∂x^2} \, < \, 0 $ então $ (x_0, y_0) $ é um ponto de máximo local e;
d) Se det[H] no ponto $ (x_0, y_0) $ for igual a zero, então nada podemos afirmar.

Obs.: Vale a pena ressaltar que este teorema só vale para a matriz [H] sendo 2x2.

Cálculo das derivadas parciais de segunda ordem:
$ \frac{∂^2f}{∂x^2} \, = \, 12x^2 $
$ \frac{∂^2f}{∂y^2} \, = \, 12y^2 $
$ \frac{∂^2f}{∂x∂y} \, = \, \frac{∂^2f}{∂y∂x} \, = \, -4 $

Determinante da matriz Hessiana:
$$ \left| \begin{array}{cc} 12x^2 & -4 \\ -4 & 12y^2 \\ \end{array} \right| \, = \, 12x^2 \times 12y^2 \, - \, 16 \, = \, 144x^2y^2 \, - \, 16 $$

No ponto (1,1):
$ |H| \,  = \,  144 \,  - \,  16 \, = \, 128 \, > \, 0 $
$ \frac{∂^2f}{∂x^2} \, = \, 12x^2 \, = \, 12 \, > \, 0 $
Logo, este é um ponto de mínimo local;

No ponto (-1,-1):
$ |H| \,  = \,  144 \,  - \,  16 \, = \, 128 \, > \, 0 $
$ \frac{∂^2f}{∂x^2} \, = \, 12x^2 \, = \, 12 \, > \, 0 $
Logo, este também é um ponto de mínimo local;

No ponto (0,0):
$ |H| \,  = \,  0 \,  - \,  16 \, = \, -16 \, < \, 0 $
Logo, este é um ponto de sela;

Abaixo, veja a superfície formada por f(x,y) e os pontos (1,1), (0,0) e (-1,-1) representados em preto;

Pontos de máximo, mínimo e sela



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Exercício Resolvido - Reta tangente à intersecção de superfícies

Encontre as equações paramétricas para a reta tangente à curva definida pela intersecção das superfícies:
$$ x^2 \, + \, y^2 \, = \, 4 $$
$$ x^2 \, + \, y^2 \, - \, z \, = \, 0 $$
no ponto de coordenadas $ \left ( \sqrt{2}, \sqrt{2}, 4 \right ) $.

Solução:
A primeira superfície é mais simples de perceber que é um cilindro. A segunda é um paraboloide. As superfícies podem ser vistas, separadas, abaixo:

Reta tangente


Colocando elas juntas, temos:

Paraboloide

Cálculo da curva da intersecção das superfícies:
Se há intersecção, então os valores de x, y e z devem ser iguais nas duas superfícies. A primeira superfície pode ser parametrizada da seguinte forma:

$ x^2 \, + \, y^2 \, = \, 4 $

$ \frac{x^2}{4} \, + \, \frac{y^2}{4} \, = \, 1 $

$ \left ( \frac{x}{2} \right )^2 \, + \, \left ( \frac{y}{2} \right )^2 \, = \, 1 $

Porém, das Relações Trigonométricas temos que $ Sen^2 (\alpha) \, + \, Cos^2 (\alpha) \, = \, 1 $. Assim:

$ \left ( \frac{x}{2} \right )^2 \, + \, \left ( \frac{y}{2} \right )^2 \, = \, 1 $

$ Sen^2 (\alpha) \, + \, Cos^2 (\alpha) \, = \, 1 $

Podendo ser feita a igualdade:

$ \frac{x}{2} \, = \, Sen(\alpha) $

$ \frac{y}{2} \, = \, Cos(\alpha) $

A equação paramétrica fica:

$ x \, = \, 2 Sen(\alpha) $

$ y \, = \, 2 Cos(\alpha) $

Como z pode assumir qualquer valor pois não é dependente de x nem de y na primeira superfície, então sua forma parametrizada pode ser z = z. Ficando, portanto:

$ x \, = \, 2 Sen(\alpha) $

$ y \, = \, 2 Cos(\alpha) $

$ z \, = \, z $

A outra superfície tem equação z = x² + y²
Assim, a curva de intersecção das superfícies na sua forma parametrizada é:

$ x \, = \, 2 Sen(\alpha) $

$ y \, = \, 2 Cos(\alpha) $

$ z \, = \, x^2 \, + \, y^2 = 4 Sen^2 (\alpha) \, + \, 4 Cos^2 (\alpha) \, = \, 4 $

Ou seja, a curva é uma circunferência de raio 2 na altura z = 4. Veja na figura abaixo a curva em cor vermelha:

Paraboloide

O que o exercício pede é a reta tangente à curva de intersecção no ponto $ \left ( \sqrt{2}, \sqrt{2}, 4 \right ) $.
Esta reta terá equação do tipo

$ y \, = \, a x\, + \, b $

$ z \, = \, 4 $

Onde a é o coeficiente angular e b o coeficiente linear da reta. Porém, como ela é tangente no ponto $ \left ( \sqrt{2}, \sqrt{2}, 4 \right ) $ então o coeficiente angular da reta deve ser a derivada de y em relação a x $ \, \rightarrow \frac{dy}{dx} $ . A derivada pode ser calculada por:

$ x' \, = \, 2 Cos(\alpha) \alpha ' $

$ y' \, = \, -2 Sen(\alpha) \alpha ' $

$ \frac{dy}{dx} \, = \, \frac{y'}{x'} \, = \, \frac{-2 Sen(\alpha) \alpha '}{2 Cos(\alpha) \alpha '} \, = \, -tan(\alpha) $

Mas, no ponto $ \,  \left ( \sqrt{2}, \sqrt{2}, 4 \right ) \, $ temos que $ \,  2 Cos(\alpha) = \sqrt{2} \, $ e $ \,  2 Sen(\alpha) = \sqrt{2} \, $, logo, $ \, \alpha = \frac{\pi}{4} \, $. Assim, $ \, \frac{dy}{dx} \, = \,  -tan(\alpha) = -tan(\frac{\pi}{4}) \, = \, -1 \, \rightarrow \, a = -1 $.

Com isso, já é possível determinar a equação da reta:

$y \, = \, -1 \times x \, + \, b$

$ z \, = \, 4 $

Como ela passa pelo ponto $ \, \left ( \sqrt{2}, \sqrt{2}, 4 \right ) \, $, então:

$ \sqrt{2} \, = \, -1 \times \sqrt{2} \, + \, b $

$ b \, = \, 2 \times \sqrt{2} $

A equação da reta fica:

$ y \, = \, -1 \times x \, + \, 2 \times \sqrt{2} $

$ z \, = \, 4 $

A parametrização pode ser feita da seguinte forma:

$ x \, = \, t $

$ y \, = \, -t \, + \, 2 \sqrt{2} $

$ z \, = \, 4 $

Veja também:
Exercício Resolvido - Geometria analítica: Reta e elipse

Abaixo a figura com o ponto $ \, \left ( \sqrt{2}, \sqrt{2}, 4 \right ) \, $ em verde e em preto, a reta tangente:

Paraboloide

Aproximando um pouco mais:


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Exercício Resolvido - Paradoxo do aniversário

Probabilidade de se ter duas pessoas fazendo aniversário no mesmo dia num grupo de n pessoas: A solução desse exercício pode ser surpreendente.

Em um grupo de n pessoas escolhidas aleatoriamente, qual a probabilidade de que pelo menos duas façam aniversário no mesmo dia?
Qual deve ser o menor valor de n para que a probabilidade seja superior a 95%?

Solução:
A solução deste exercício, como de qualquer exercício de probabilidade, pode ser calculando-se os casos
favoráveis e somar todos eles, porém neste caso este procedimento é muito custoso e desnecessário. Perceba no caso de n = 4. Teríamos que calcular a probabilidade de 2 fazerem aniversário no mesmo dia, depois de 3 fazerem e depois os 4. Agora imagina este valor de n aumentando... Neste caso, é muito mais simples o cálculo dos casos que não estamos interessados (ou seja, todos fazerem em datas diferentes) e com isso, subtraindo de 1 sabemos a probabilidade que desejamos. Façamos para n = 4 das duas formas para que se verifique que o resultado é o mesmo:

Caso1: apenas 2 pessoas fazendo aniversário no mesmo dia:
- A primeira pessoa faz aniversário na data D $ \rightarrow $ probabilidade = 1 já que ela deve fazer aniversário em algum dia;
- A segunda faz em D também $ \rightarrow $ probabilidade = $ \frac{1}{365} $
- A terceira faz em outra data qualquer $ \rightarrow $ probabilidade = $ \frac{364}{365} $
- A quarta faz numa data diferente de D e diferente da terceira pessoa $ \rightarrow $ probabilidade = $ \frac{363}{365} $
Neste caso temos 6 combinações possíveis:
$$ P_1 \, = \, 6 \times \left ( 1 \times \frac{1}{365} \times \frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \right ) $$

Caso2: dois a dois fazem aniversário no mesmo dia:
- A primeira pessoa faz aniversário no dia D;
- A segunda pessoa faz aniversário no dia E diferente de D $ \rightarrow $ probabilidade = $\frac{364}{365} $;
- A terceira faz aniversário junto com a primeira $ \rightarrow $ probabilidade = $\frac{1}{365} $
- A quarta faz junto com a segunda $ \rightarrow $ probabilidade = $\frac{1}{365} $
Neste caso há três combinações:
- 1ª com 2ª e 3ª com 4ª;
- 1ª com 3ª e 2ª com 4ª e;
- 1ª com 4ª e 2ª com 3ª.
Assim:
$$ P_2 \, = \, 3 \times \left ( 1 \times \frac{364}{365} \times \frac{1}{365} \times \frac{1}{365} \right ) $$

Caso3: três fazendo aniversário no mesmo dia:
- A primeira faz no dia D;
- A segunda também $ \rightarrow $ probabilidade = $ \frac{1}{365}$;
- A terceira também $ \rightarrow $ probabilidade = $ \frac{1}{365}$;
- A quarta faz em outra data $ \rightarrow $ probabilidade = $ \frac{364}{365} $;
Temos aqui três combinações também, ficando:
$$ P_3 \, = \, 3 \times \left ( 1 \times \frac{1}{365} \times \frac{1}{365} \times \frac{364}{365} \right ) $$

Caso4: Todos fazendo aniversário na mesma data: Neste caso não há combinações por ser uma condição única, portanto não aparece termo multiplicando:
$$ P_4 \, = \, 1 \times \frac{1}{365} \times \frac{1}{365} \times \frac{1}{365} $$

A probabilidade total será:
$$ P = P_1 + P_2 + P_3 + P_4 \, \approx \, 0,0163 $$

Porém, a probabilidade de todos fazerem aniversário em datas diferentes é:
$$ P_{dif} \, = \, 1 \times \frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \times \frac{362}{365}  $$
Assim:
$$ P \, = \, 1 \, - \, P_{dif} \, \approx \, 0,0163 $$

Portanto, a probabilidade de pelo menos duas pessoas fazerem aniversário no mesmo dia num grupo de n pessoas é de:
$$ P \, = \, 1 \, - \, 1 \times \frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \times ... \times \frac{366-n}{365} $$

Em termos gerais, temos que a probabilidade é dada por:
$$ P \, = \, 1 \, - \, \frac{365!}{365^n \times (365-n)!} $$

Veja também:
Exercício Resolvido - Probabilidade de ninguém pegar seu próprio nome em um amigo secreto
Exercício Resolvido - Prova CORSAN 2014: Probabilidade

Assim, o menor valor de n para que a probabilidade seja maior que 95% é de n = 47, onde P $\approx$ 95,5%. Perceba que num grupo de 47 pessoas, é quase certo que duas delas fazem aniversário na mesma data.
Outro exemplo é o caso de um jogo de futebol. Considerando o juiz e os auxiliares, temos 25 pessoas. A probabilidade de pelo menos dois fazerem aniversário no mesmo dia é de 56,87%.
Em tempos de álbum da copa do mundo, cada equipe tem 17 figurinhas de jogadores. A probabilidade de que pelo menos dois deles façam aniversário no mesmo dia é de 31,5%. Ou seja, das 32 equipes, espera-se que 10 delas tenham pelo menos 2 jogadores que façam aniversário no mesmo dia.
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Exercício Resolvido - Continuidade, limite e derivada parcial

Seja a função $ f: \Re ^2 \, \rightarrow \, \Re $ dada por:
$$ f(x,y) =
\left \{
\begin{array}{cc}
\frac{ x^3 y^2 }{x^4 + y^4}, & (x,y) \neq (0,0) \\
0, & (x,y) = (0,0) \\
\end{array}
\right. $$

mostre que ela é contínua em (0,0) e determine as derivadas parciais $ f_x (0,0) $ e $ f_y (0,0) $.

Solução:
Para verificar a continuidade devemos calcular o limite abaixo e ele deve dar zero:

$$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0) } \frac{ x^3 y^2 }{x^4 + y^4} $$

Para continuar, é preciso perceber que todo valor ao quadrado é positivo ou zero, assim:
$ \left ( x^2 \, - \, y^2 \right )^2 \, \geq \, 0 $
$ x^4 \, - \, 2 x^2 y^2 \, + \, y^4 \, \geq \, 0 $
$ x^4 \, + \, y^4 \, \geq 2 x^2 y^2 $
$ \frac{1}{2} \, \geq \, \frac{x^2 y^2}{x^4 \, + \, y^4} $

Como só temos termos ao quadrado e à quarta, $ \frac{x^2 y^2}{x^4 \, + \, y^4} $ certamente não é negativo, assim:

$$ \frac{1}{2} \, \geq \, \frac{x^2 y^2}{x^4 \, + \, y^4} \, \geq \, 0 $$

Logo, o termo $ \frac{x^2 y^2}{x^4 \, + \, y^4} $ é limitado. Assim, fazendo a igualdade e substituindo $ \frac{x^2 y^2}{x^4 \, + \, y^4} \, = \, t $ temos:

$$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0) } x \times \left ( \frac{ x^2 y^2 }{x^4 + y^4} \right ) = \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0) }{ x \times t} $$

Como $ x \, \rightarrow \, 0 $ e $ t $ é limitado, o limite é zero:

$$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0) }{ x \times t} \, = \, 0 $$

Perceba na figura a seguir como realmente a superfície tende a zero em qualquer direção:

Limite




Veja também:
Exercício Resolvido - Reta tangente à intersecção de superfícies
Exercício Resolvido - Multiplicadores de Lagrange
Exercício Resolvido - Pontos de máximo, mínimo e sela

As derivadas parciais no ponto (0,0) devem ser calculadas pela definição:

$$ f_x (0,0) \, = \, \lim_{h \rightarrow 0 }{ \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h}} \, = \, \lim_{h \rightarrow 0 }{ \frac{h^3 0^2}{h^4+0^4}} \, - \, 0 \, = \, 0 $$
$$ f_y (0,0) \, = \, \lim_{h \rightarrow 0 }{ \frac{f(0,h) - f(0,0)}{h}} \, = \, \lim_{h \rightarrow 0 }{ \frac{0^3 h^2}{0^4+h^4}} \, - \, 0 \, = \, 0 $$

Logo:

$$ f_x(0,0) \, = \, 0 $$
$$ f_y(0,0) \, = \, 0 $$

Veja na figura a seguir a reta f(x,0) em vermelho e a reta f(0,y) em amarelo. Perceba que elas não variam e são identicamente nulas, ou seja, f(x,0) = 0 e f(0,y) = 0 para qualquer valor de x ou y. Isso garante que a derivada parcial destas funções no ponto (0,0) deve ser zero pois a função não varia nas direções (1,0) e (0,1), confirmando o que foi obtido anteriormente. Ainda, para ser mais abrangente, as derivadas parciais serão sempre nulas se x = 0 ou se y = 0 (ou, claro, se ambos forem nulos).

Continuidade

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