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Exercício Resolvido - Queda livre: VESTIBULAR UERJ 2011

Vestibular UERJ 2011 questão 22 sobre queda livre

Um trem em alta velocidade desloca-se ao longo de um trecho retilíneo a uma velocidade constante de 108 km/h. Um passageiro em repouso arremessa horizontalmente ao piso do vagão, de uma altura de 1 m, na

Ressonância - Exercício, teoria e animação

Uma forma interessante e de fácil compreensão para se entender o fenômeno da ressonância é pensarmos em uma mola sem massa suspensa verticalmente onde, em um de seus extremos (extremo A) há uma massa,
e no outro (extremo B) uma pessoa segurando. Assim, esta pessoa ao movimentar este extremo B verticalmente com uma dada frequência f, faz com que a massa oscile. De uma forma intuitiva, percebe-se com este experimento que com frequências diferentes, a massa terá oscilações diferentes. Porém, uma

Exercício Resolvido - 5 Exercícios de MRUV e MRU

Este post apresenta 5 exercícios resolvidos de MRUV e MRU .

1 - O gráfico abaixo mostra a velocidade de dois ciclistas (C1 e C2) em função do tempo. Ambos partem
da posição inicial zero pata t = 0 e percorrem trajetórias retilíneas no mesmo sentido. Com base nos dados

Exercício Resolvido - Reta tangente à intersecção de superfícies

Encontre as equações paramétricas para a reta tangente à curva definida pela intersecção das superfícies:
$$ x^2 \, + \, y^2 \, = \, 4 $$
$$ x^2 \, + \, y^2 \, - \, z \, = \, 0 $$
no ponto de coordenadas $ \left ( \sqrt{2}, \sqrt{2}, 4 \right ) $.

Exercício Resolvido - Paradoxo do aniversário

Em um grupo de n pessoas escolhidas aleatoriamente, qual a probabilidade de que pelo menos duas façam aniversário no mesmo dia?
Qual deve ser o menor valor de n para que a probabilidade seja superior a 95%?

Solução:
A solução deste exercício, como de qualquer exercício de probabilidade, pode ser calculando-se os casos

Exercício Resolvido - Continuidade, limite e derivada parcial

Seja a função $ f: \Re ^2 \, \rightarrow \, \Re $ dada por:
$$ f(x,y) =
\left \{
\begin{array}{cc}
\frac{ x^3 y^2 }{x^4 + y^4}, & (x,y) \neq (0,0) \\
0, & (x,y) = (0,0) \\
\end{array}
\right. $$

Espaço vetorial finitamente gerado, Dependência linear e Base de um espaço vetorial finitamente gerado

ESPAÇO VETORIAL FINITAMENTE GERADO
A forma mais fácil de se entender o que isso significa é através de exemplos. Considere o conjunto dos números reais. Este conjunto é um espaço vetorial sobre ele mesmo (Veja O que é um espaço vetorial) segundo a soma e a multiplicação que conhecemos.

Sub-espaço Vetorial e Combinação Linear

Sub-espaço Vetorial

Definição: Dado um espaço vetorial $ V $ sobre $ \Re $, um sub-espaço vetorial de $ V $ é um conjunto $ W \,  \subset \, V $, que apresenta as seguintes propriedades:
a) $ o \, \in \, W $

Propriedades de um Espaço Vetorial

Após definir o que é um espaço vetorial, algumas propriedades podem ser observadas de forma quase imediata. A seguir veremos algumas delas:

Propriedade I: $\forall \alpha \, \in \, \Re, \, \alpha o \, = \, o$
Propriedade II: $\forall u \, \in \, V, \, u0 \, = \, 0$

O que é um espaço vetorial?

Definição: Um conjunto $V\, \neq \, \emptyset$ é um espaço vetorial sobre $ \Re $ se, e somente se, satisfizer as seguintes condições:

I - Existir uma adição em $V$ com as seguintes propriedades:
a) $u\, +\, v\, = \, v\, + \, u, \, \forall u , \, v \, \in \, V$

Exercício Resolvido - Geometria Espacial: Plano e esfera

Determine a razão entre o volume da esfera e o volume do cubo da figura abaixo sabendo que a esfera tangencia três faces do cubo e o plano secante formado pelo hexágono. Os pontos do hexágono são pontos médios das 6 arestas do cubo.

Princípio da indução finita

Este princípio é utilizado para a solução de diversos exercícios porém ele serve apenas para exercícios que envolvem números inteiros e para exercícios que pedem que seja provado que algo é verdadeiro para um conjunto de valores inteiros.
Vou falar sobre o princípio utilizando a fórmula da soma da PA (Progressão Aritmética) para esclarecer.
 

Exercício Resolvido - Limite e função

Seja o conjunto de funções do tipo fn(x) = -(1/kn²)x + 2/kn, onde kn assume qualquer valor real positivo. Determine qual é a função g(x) formada pela intersecção de infinitas retas do tipo fn, conforme figura a seguir.

Exercício Resolvido - Inteiros de Gauss

O exercício resolvido neste post será o Problema 1 do capítulo "Inteiros de Gauss" do arquivo disponível no link http://www.obm.org.br/export/sites/default/revista_eureka/docs/artigos/gauss.doc escrito por Guilherme Fujiwara.
Deste arquivo irei transcrever algumas definições e teoremas, conforme eles forem sendo usados, porém não serão disponibilizadas aqui as provas dos teoremas. Estas podem ser vistas no próprio documento.

Problema 1. Determine todos os pares x, y Î Z tal que y³ = x² + 1.


Exercício Resolvido - Desafio

Ana tem o dobro da idade que Márcia tinha quando Ana tinha a idade que Márcia tem. Sabendo que a soma das idades delas é 42, qual é a idade de Ana e de Márcia?

Solução:

Exercício Resolvido - Prova CORSAN 2014: Probabilidade

Das dez torneiras da rede de abastecimento de um determinado bairro, três estão com defeito. Se a equipe de manutenção escolher, aleatoriamente, duas torneiras para trocar, a probabilidade de se encontrar pelo menos uma com defeito é de, aproximadamente:

Exercício Resolvido - Base de um espaço vetorial: Independência linear

Seja E(u,v,x) uma base e F(a,b,c) tal que u = 2a + 2b, v = 2a - b, w = a + b - 5c. Prove que F é base.

Solução:
Primeiro, precisamos saber o que é uma base?
Sem muitos critérios matemáticos, um conjunto de vetores B é chamado de base de um espaço vetorial E

Exercício Resolvido - Potenciação

Um inteiro é chamado formidável se ele pode ser escrito como uma soma de potências distintas de 4 e é dito bem sucedido se ele pode ser escrito como uma soma de duas potências distintas de 6. O número de maneiras de escrevemos 2005 como a soma de um número formidável com um número bem sucedido é: 

Exercício Resolvido - MRU e MRUV, Mosca e trem.

Um trem esta numa estação A, inicialmente em repouso e parte com aceleração de 0,3 m/s².
Numa estação B parte do repouso outro trem, com aceleração de 0,1 m/s².
Pousada em seu nariz há uma mosca que neste mesmo instante passa a voar retilineamente em direção ao trem B com velocidade constante de 15 m/s.

Limite fundamental exponencial (Euler)

Neste post será comprovada a existência do limite fundamental exponencial.
Para isto, será utilizado o seguinte teorema e a seguinte proposição:

        Proposição 1    Se an é uma sequência crescente e limitada superiormente, então an converge.


Exercício Resolvido - Geometria analítica: Reta e elipse

Determine a equação da reta tangente à elipse de equações paramétricas:
x = 4*Cos(t)
y = 3*Sen(t)
no ponto correspondente ao valor paramétrico t = π/4. Identifique os vértices e os focos da elipse. Represente graficamente, num mesmo plano, a elipse e a reta tangente.

Exercício Resolvido - Geometria analítica: Ponto, Reta e Circunferência no plano.

Sejam A(-7,4) e B (5,-12) pontos no plano.
a)Encontre a inclinação da reta que contém A e B
b)Encontre uma equação da reta que passa por A e B.Quais as intersecções com os eixos ?.
c)Encontre o ponto médio do segmento AB.

Exercício resolvido - Raiz de polinômio

Considere o polinômio 5x³ – 3x² – 60x + 36 = 0. Sabendo que ele admite uma solução da forma √n, onde n é um numero natural, pode se afirmar que: 
A)1≤ n < 5 
B)6 ≤ n < 10 
C)10 ≤ n < 15 
D)15 ≤ n < 20 
E)20 ≤ n < 30

Exercício resolvido - Quantidade de movimento

Dois objetos, A e B, movendo-se sem atrito sobre uma reta horizontal, estão em interação. A quantidade de movimento de A é QDMA = Po - bt, onde Po e b são constantes e t é o tempo. Determine a quantidade de movimento de B como função do tempo quando a) B está inicialmente em repouso e b) a quantidade de movimento inicial de B é igual a -Po

Área da elipse usando apenas conhecimentos de cálculo I

A análise inicial é muito parecida com a feita no exercício anterior, assim como o raciocínio para a obtenção do resultado, o que irá mudar neste caso é o "pedaço de área" que vamos pegar. Ele, assim como feito antes, deve ser infinitamente pequeno.
A área infinitesimal adotada será conforme a figura a seguir:

Dedução da área de uma elipse

Supondo uma elipse, conforme figura a seguir:

Exercício resolvido - Trigonometria

Um observador colocado a 25 metros de um edifício vê-o sobre um determinado ângulo. Afastando-se em linha reta mais 50 metros, nota que o ângulo de visualização é metade do anterior. Qual é a altura do edifício?

Solução:

O que é Integral?

Neste post será explicado o que é integral pela definição.

A integral nada mais é do que um somatório contínuo de áreas infinitamente pequenas.
Por exemplo:
Imagine o seguinte somatório discreto:



Choque com mola - Quantidade de movimento e energia

Um corpo de massa m1 = 2 kg escorrega por uma mesa sem atrito com velocidade de 10m/s. Diretamente à frente do corpo, deslocando-se com velocidade de 3 m/s, na mesma direção, está outro corpo de massa m2 = 5 kg. Uma mola ideal (ver figura) apresenta rigidez elástica K = 1120 N/m e está presa ao segundo bloco. Qual a máxima deformação na mola?

Prova ENEM 2011 - Logaritmo

A Escala de Magnitude de Momento (abreviada como MMS e denotada como MW), introduzida em 1979 por Thomas Haks e Hiroo Kanamori, substituiu a Escala de Richter para medir a magnitude dos terremotos em termos de energia liberada. Menos conhecida pelo público, a MMS é, no entanto, a escala usada para estimar as magnitudes de todos os

Exercício resolvido - Derivada de função inversa

Sendo f(x) = x³ + x² + 4x, calcule a derivada de sua função inversa no ponto o qual y = 6.
Essa questão foi tirada do livro "Fundamentos de Matemática Elementar Vol 8".


Exercício resolvido - Geometria Analítica (reta e ponto)

Dado o ponto P(2,-1) e a reta de equação y=3x-5, escreva uma equação da reta que contém o ponto P e
a) seja paralela a reta r.
b) seja perpendicular a reta r.

Exercício Resolvido - Geometria analítica (Ponto e Reta)

Determinar a projeção ortogonal do ponto P(2,4) sobre a reta.
x = 1+2t
y = -1+3t

Solução:
Vou fazer a solução deste exercício de duas formas. Uma envolvendo apenas conhecimentos de geometria analítica básica (mais trabalhosa), outra envolvendo conceitos vetoriais.

Método 1:
Inicialmente vou determinar a reta na forma y = a.x + b. Para isso, basta isolar o 't' nas duas igualdades acima:

x = 1 + 2t
t = (x - 1) / 2

y = -1 + 3t
t = (y + 1) / 3

(x - 1) / 2 = (y + 1) / 3
3x - 3 = 2y + 2
2y = 3x - 5
y = 1,5x - 2,5

sabe-se que retas ortogonais tem o produto dos seus coeficientes angulares igual a -1.
Logo, a reta ortogonal à reta acima, da forma:
y = ax + b
Será tal que:

a*(1,5) = -1
a = -2/3
Porém essa reta passa pelo ponto (2,4)
y = (-2/3)x + b
4 = (-2/3).2 + b
b = 4 + 4/3
b = 16/3

Logo, a reta que é ortogonal à y = 1,5x - 2,5 e passa por P(2,4) é: y = (-2/3)x + 16/3
Assim, a projeção ortogonal do ponto P na reta y = 1,5x - 2,5 será a intersecção dessas duas retas, e a intersecção ocorre quando temos os valores de y e x iguais, logo:

1,5x - 2,5 = (-2/3)x + 16/3
x(3/2 + 2/3) = 5/2 + 16/3
x(9/6 + 4/6) = 15/6 + 32/6
x(13/6) = 47/6
x = 47/13

Logo, o ponto será:
(47/13 , 38/13)


Método 2: 
Utilizando teoria vetorial
x = 1+2t
y = -1+3t
Esta reta tem a forma vetorial:
(x,y) = (1,-1) + t*(2,3)
O vetor diretor da reta é (2,3)

Logo, uma reta ortogonal a essa terá vetor diretor ortogonal a (2,3). Se eles são ortogonais e diferentes de zero, o produto escalar entre eles será zero.

Assim:
(a,b).(2,3) = 2a + 3b = 0

Arbitrando a = 1, b = -2/3. Como o valor de 'a' pode ser arbitrado e ele é diretamente proporcional a 'b', se utilizarmos a = 3, b = -2. Apenas para trabalharmos com números inteiros.

Logo, sabendo que esta reta passa pelo ponto (2,4), a reta será:
(x,y) = (2,4) + h*(3, -2)
ou
x = 2 + 3h
y = 4 - 2h

Achando o ponto de intersecção das retas:
2 + 3h = 1 + 2t -> h = (-1 + 2t) / 3
4 - 2h = -1 + 3t
4 - 2*(2t - 1) / 3 = -1 + 3t
4 - 4t/3 + 2/3 = -1 + 3t
17/3 = 13t/3
t = 17/13

Logo, x = 47/13 e y = 38/13

Gráfico do exercício abaixo:


Quando a ddp numa ponte de Wheatstone é zero ?

Acima, esta esquematizada uma ponte de Wheatstone.
Na figura acima, V é a fonte de energia, e ∆V a tensão que é zero quando a ponto de Wheatstone está em equilíbrio.

Assim, para que ∆V seja zero não pode passar corrente por ∆V, pois a corrente elétrica só se desloca para pontos de menor potencial. Se ∆V é zero, então não há diferença de potencial entre seus extremos, logo a corrente será a mesma em R1 e em R4, o mesmo ocorrendo para R2 e R3. Logo, a tensão V fornecida é:

V = I23*(R2 + R3) = I14*(R1 + R4). Considerando-se que as corrente I23 e I14 deslocam-se de baixo para cima na figura.

A tensão medida em ∆V é:
∆V = R1*I14 + R2*(-I23). Perceba, o uso do sinal '-' deve-se pelo fato de que a corrente é de baixo para cima, e para que o caminho seja mantido iniciando de R1 e passando por R2 para calcular a ddp em ∆V, I23 é negativo já que I14 é positivo.
O mesmo ocorre se fizermos a malha de baixo:

∆V = R4*(-I14) + R3*I23               (1)

Porém, queremos que ∆V = 0, logo:
R1*I14 - R2*I23 = 0    (ou -R4*I14 + R3*I23 = 0, o resultado daria o mesmo.)
De onde tiramos que:
I14R2*I23 / R1

Substituindo isso EM (1):
R3*I23 - R4*(R2*I23 / R1) = 0
R3*I23 = R4*(R2*I23 / R1)
Cortando I23
R3 = (R4*R2) / R1
R3*R1 = R4*R2

Logo, para que ∆V = 0, o produto cruzado das resistências deve ser igual.

Exercícios Resolvidos - Geometria analítica

Dado um triângulo cujos vértices são A(1,1), B(4,0) e C(3,4), determine:

a) O pé da altura relativa ao vértice C.
b) A área do triângulo ABC.

Solução:



a)
Para determinar este ponto, devemos encontrar a reta que passa por C e é perpendicular à reta AB, pois a altura relativa a algum vértice de um triângulo é, por definição, a reta que passa por esse ponto e é perpendicular à reta que une os outros dois vértices.
Como retas perpendiculares tem coeficientes angulares com sinal trocado e inversas, que calcular o coeficiente angular da reta AB:

Como AB passa por A(1,1), temos:
$y\,=\,a x\, +\, b$
$a\,+\,b\,=\,1$

Como passa por B(4,0), temos:
$y\,=\,a x\, +\, b$
$0\, =\, 4a\, +\, b$
Mas $a\, +\, b\, =\, 1$
$0\, =\, 3a\, +\, (a+b)$
$0\, =\, 3a\, +\, 1$
$ a\,=\,\frac{-1}{3} $
$b\,=\,\frac{4}{3}$

Coeficiente angula da reta AB: -1/3
Logo, coeficiente angular da reta altura é: 3

Assim, ela tem a forma:
$y\, =\, 3x\, +\, b$
Mas essa reta deve passar pelo ponto C (3,4)
$4\, =\, 3\times 3\, +\, b$
$b\, =\, 4\,-\,9\, =\, -5$

Logo, a reta é:
$y\, =\, 3x\, -\, 5$

O pé dessa altura é o ponto que as retas AB e a reta altura se interceptam:
Reta AB:
$y\,=\, \frac{-1}{3} x \, + \, \frac{4}{3}$
Reta altura:
$y \, = \, 3x \, - \, 5$

Igualando ambas:
$3x \, - \, 5 \, = \, \frac{-1}{3} x \, + \, \frac{4}{3}$
$\frac{10}{3} x \, = \, \frac{19}{3}$
$x \, = \, \frac{19}{10} \, = \, 1,9$
$y \, = \, 3 \times \frac{19}{10} \, - \, 5$
$y \, = \, 5,7 \, - \, 5 \, = \, 0,7$



Ponto P = (1,9 , 0,7)
b) Sabendo que a altura deste triângulo vai do ponto P(1,9 , 0,7) ao ponto C(3,4), a distância 'd' entre esses pontos será o valor desta altura:

$h^2\, =\, (3\, -\, 1,9)^2\, +\, (4\, -\, 0,7)^2$
$h^2\, =\, 1,1^2\, +\, 3,3^2$
$h^2\, =\, 1,21\, +\, 10,89 =\, 12,1$
$h\, =\, 3,479$

O tamanho da base, é a distância do ponto A ao ponto B.
$d^2\, =\, (4\, -\, 1)^2\, +\, (0\, -\, 1)^2$
$d^2\, =\, 3^2\, +\, 1^2\, =\, 10$
$d\, =\, 3,1623$

A área será:
$A \, = \, \frac{3,1623 \times 3,479}{2} \, = \, 5,5$

A área ainda pode ser calculada pelo determinante da matriz:

$\frac{1}{2} \times \left | \begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
4 & 0 & 1 \\
3 & 4 & 1 \\
\end{array} \right | = 5,5$

Onde a primeira coluna são as coordenadas x dos vértices, e a segunda coluna as coordenadas y.

Exercício Resolvido - Probabilidade de ninguém pegar seu próprio nome em um amigo secreto

Numa brincadeira de amigo secreto, qual a probabilidade de ninguém tirar o próprio nome quando o número de participantes tende ao infinito? 

Solução:
Este exercício parece ser simples mas é muito complicado.
Vou tentar explicar a forma como fiz o mais detalhado possível, porém o leitor deve estar bem atento a cada passo.

Inicialmente, vamos deduzir o universo de possibilidades.

Não é difícil perceber que o universo é de n! para n participantes, pois, o primeiro a sortear tem 'n' nomes para retirar. O segundo terá '(n-1)'. O terceiro, '(n-2)'... Logo, o número de possibilidades é:

n*(n-1)*(n-2)*...*1 = n!

Dessas possibilidades, vamos procurar quais são favoráveis, e da divisão das possibilidades favoráveis pelo número total temos a probabilidade.

Vou chamar de Prob(n) = [P(n) / n!] a probabilidade solicitada. Ou seja, P(n) é o número de possibilidades favoráveis

Vamos lá. Um estudo específico rápido:
Se fosse 1 participante, a probabilidade seria 0%.

Se fossem 2, teríamos que o 1º não poderia pegar seu nome. Como o universo de possibilidades é 2 e apenas uma delas satisfaz, e probabilidade aqui seria 1/2 = 0,5

Se fossem 3, temos que pensar da seguinte forma para saber o universo de possibilidades:
Se o primeiro tirar seu nome, já não nos serve mais. Como este caso tem 2 possibilidades (a de o segundo e o terceiro também tirarem seus nomes, e a de o 2° tirar o nome do 3° e o 3° tirar o do 2°), resta verificar os outros casos;
Se o 1° tirar o nome do 2°:
Pode o 2° tirar o do 1° e o 3° o dele mesmo -> não serve;
Pode o 2° tirar o do 3° e o 3° o do 1° -> OK
Se o 1° tirar o do 3°, ocorre o mesmo, ou seja, das 2 possibilidades, onde uma é válida.
Assim, neste caso (3 participantes), o universo de possibilidades é 3*2*1 = 6, e as válidas são 2. Temos 2/6 = 1/3 a probabilidade.

Perceba que existem dois casos. Um é o primeiro pegar o seu próprio nome. E este não nos serve. O outro é ele pegar o nome de outro participante. Assim, restará o nome dele e de mais um. Supondo que o participante que o primeiro pegou o nome, pegar o nome do primeiro (ou seja, um pega o nome do outro), resta a situação de apenas um participante, ou seja, o participante que não sorteou só poderá pegar o próprio nome, que é o caso de se só existisse um participante.

Vamos analisar como seria com 4 participantes, o pensamento é análogo ao se fossem 3:
Se o 1° tirar seu nome, os outros casos não nos serve. Ou seja, temos 3! = 6 possibilidades que não servem.
Se o 1° tirar o nome do 2°:
O 2° tira o do 1° o 3° tira o próprio e o 4° o próprio -> Não serve
O 2º tira o do 1°, o 3° o do 4° o 4° o do 3º -> OK
O 2° tira o do 3°, o 3° o do 1º o 4º o próprio -> não serve
O 2° tira o do 3°, o 3° o do 4º, o 4º o do 1º -> OK
O 2° tira o do 4°, o 3º o próprio, o 4° o do 1º -> Não serve
O 2° tira o do 4º, o 3º o do 1º, o 4º o do 3° -> Ok
Total de 3 possibilidades neste caso.
Como o 1º pode ainda tirar o do 3° e do 4°, e nesses casos teremos a mesma situação acima (3 favoráveis em cada), são 9 as possibilidades satisfatórias. 9/24 = 3/8.

Mais uma vez, o que foi observado no caso de 3 participantes, ocorreu. Veja que aqui existe também a possibilidade do 1º tirar o seu próprio nome (que não serve) e de ele tirar o nome que outro participante. Como são 4 participantes, as possibilidades do 1º tirar o nome de outro são 3. Digamos que ele pegue o nome de outro participante, chamado de B. Neste caso, se o participante B tirar o nome do 1º, vão restar 2 nomes e dois participantes. Porém, como no caso de existirem apenas 2 no jogo do amigo secreto, os dois participantes que restaram tem os seus nomes a serem sorteados. Caso o B não pegue o nome do 1º, e pegue o nome de um jogador C. Segue a lógica: se o C pegar o nome do 1º, resta um jogador e um nome (caso do jogo de apenas um participante, já que o nome que sobrou é exatamente o nome do jogador que não sorteou), se ele pegar o nome de um participante D ...


Agora, vou fazer o mesmo que fiz acima, porém de forma genérica, para n participantes.

Já foi visto que o universo de possibilidades é de n!.

Neste caso, para n participantes, temos:
Se o 1° pegar seu nome. já não serve mais -> (n-1)! casos descartados
Se o 1º pegar o nome de outro participante (participante X) [ (n-1) possibilidades ]
Se X pegar o nome do 1º (1 possibilidade) restam (n-2) participantes com seus próprios (n-2) nomes. Neste caso, a probabilidade dos casos favoráveis será P(n-2), já que os nomes não sorteados são exatamente o dos participantes que restaram.

Mas se X pegar o nome de um terceiro (Y) (n-2 possibilidades) obtém-se os mesmos 2 casos:
Y pegar o nome do 1º (1 possibilidade), restando (n-3) participantes e seus (n-3) nomes. P(n-3)
Y pegar outro (Z) (n-3 possibilidades):
Z pegar o nome do 1º (1 possibilidade): P(n-4)
.......
E assim vai.
Assim, teremos que:

P(n) = (n-1)*[P(n-2) + (n-2)*[P(n-3) + (n-3)*[P(n-4) + (n-4)*[P(n-5) + ... + 3*[P(2) + 2*[P(1)]]]...]]]
Da igualdade acima, temos:
P(n-1) = (n-2)*[P(n-3) + (n-3)*[P(n-4) + ... + 2*[P(1)]]]...]]]

Assim:
P(n) = (n-1)*[P(n-2) + P(n-1)]
Lembrando que a probabilidade é Prob(n) = P(n) / n!

A relação P(n) = (n-1)*[ P(n-1) + P(n-2) ] estabelece uma relação de subfatorial.
Assim, dividindo tudo por n! (universo) temos:
(Aconselho ao leitor a acompanhar com um papel e um lápis a partir daqui)

P(n)/n! = (n-1)*{ P(n-1) + P(n-2)] } / n!

P(n)/n! = [(n-1)/n]*{ P(n-1)/(n-1)! + P(n-2)/(n-1)!] }

P(n)/n! = [(n-1)/n]*{ P(n-1)/(n-1)! + [1/(n-1)]*[P(n-2) /(n-2)!] }

Desta forma temos:
Prob(n) = [(n-1)/n]*{ Prob(n-1) + [1/(n-1)]*Prob(n-2) }

Prob(n) = (1 - 1/n )*{ Prob(n-1) + [1/(n-1)]*Prob(n-2) }

Prob(n) = Prob(n-1) - (1/n)*Prob(n-1) + [1/(n-1)]*Prob(n-2) - (1/n)*[1/(n-1)]*Prob(n-2) ]

Prob(n) = Prob(n-1) - (1/n)*Prob(n-1) + [(n-1)/n]*[1/(n-1)]*Prob(n-2) ]

Prob(n) = Prob(n-1) - (1/n)*Prob(n-1) + (1/n)*Prob(n-2) ] 

Prob(n) - Prob(n-1) = - (1/n)*Prob(n-1) + [1/n]*[ Prob(n-2) ]

Prob(n) - Prob(n-1) = (-1/n)* [ Prob(n-1) - Prob(n-2) ]

Seja G(n) = Prob(n) - Prob(n-1)

G(n) = (-1/n) G(n-1)

Como:
G(2) = Prob(2) - Prob(1) = 1/2 - 0 = 1/2

G(3) = (-1/3)*(1/2) = -1/6

G(4) = (-1/4)*(1/6) = 1/24
...
G(k) = [(-1)^k] / k!

Assim:

Prob(n) = Prob(1) + [Prob(2) - Prob(1)] + [Prob(3) - Prob(2)] + ... + [Prob(n) - Prob(n-1)]

Prob(n) = 0 + G(2) + G(3) + G(4) + ... + G(n)

Prob(n) = Ʃ{ [(-1)^k] / k! }

Mas, da série de Taylor temos que:
e^x = Ʃ[ ( x^k ) / k! ], se tivermos x = -1, a série será:

e^(-1) = Ʃ{ [ (-1)^k ] / k! } = Prob(n) para n tendendo ao infinito

Logo, Prob(n) = 1/e

Exercício Resolvido - Circunferência e distância de pontos

Sejam A(-4,0) e B(0,8) pontos externos do diâmetro da circunferência de centro no ponto C. A reta que passa por C é perpendicular ao diâmetro AB intercepta o eixo das abcissas no ponto P.Qual a distancia entre os pontos B e P?
a)5
b)6
c)7
d)9
e)10

Solução:
Como temos os pontos A e B diametralmente opostos, a distância entre eles é o valor do diâmetro dessa circunferência.
A distância 'd' entre eles é dada por:

d² = (-4 - 0)² + (0 - 8)² = 16 + 64 = 80
d = 4√5

Assim, o raio dessa circunferência é 2√5 e o raio ao quadrado será 20.
Como a equação geral de uma circunferência é:
(x - xo)² + (y - yo)² = r²
Onde xo e yo são as coordenadas do centro e x e y são as coordenadas dos pontos pertencentes à circunferência, temos:

Para o ponto A:
(-4 - xo)² + (0 - yo)² = 20
16 + 8xo + xo² + yo² = 20
Para o ponto B
(0 - xo)² + (8 - yo)² = 20
xo² + 64 - 16yo + yo² = 20

Assim, como ambos são iguais a 20:
16 + 8xo + xo² + yo² = xo² + 64 - 16yo + yo²
8xo +16yo = 48
Dividindo tudo por 8 para simplificar
xo + 2yo = 6
xo = 6 - 2yo

Substituindo este valor nas equações acima:
xo² + 64 - 16yo + yo² = 20
(6 - 2yo)² + 64 - 16yo + yo² = 20
36 - 24yo + 4yo² + 64 - 16yo + yo² = 20
5yo² - 40yo + 80 = 0
Dividindo tudo por 5 para simplificar
yo² - 8yo + 16 = 0

Aplicando Bhaskara temos:
yo = 4
Logo:
xo = -2
Assim, as coordenadas do ponto central são (-2,4)

Equação da reta que passa por A e B:
No ponto A (-4,0), x = -4 e y = 0
Como a equação de uma reta é do tipo y = ax + b
0 = -4a + b

No ponto B (0,8), x = 0, y = 8
8 = 0*a + b
b = 8
a = 2
y = 2x + 8

O coeficiente angular dessa reta é 2, logo o da reta perpendicular a essa, terá coeficiente angular de -1/2, já que o coeficiente angular de retas perpendiculares possuem sinal contrário e um é o inverso do outro. Mas queremos que essa reta passe por C (-2, 4)
Para essa reta, a equação é do tipo:
y = (-1/2)x + b
Mas passa por C (-2, 4), onde x = -2 e y = 4
4 = (-1/2)*(-2) + b
4 = 1 + b
b = 3

A equação é:
y = (-1/2)x + 3

Esta reta corta o eixo das abcissas (eixo x) quando y = 0. Logo:
0 = (-1/2)x + 3
x = 6
Ponto P = (6,0)

A distância entre os pontos P (6,0) e B (0,8) é:
d² = (6-0)² + (0-8)²
d² = 36 + 64
d² = 100
d = 10

Letra e)

Abaixo o que aconteceu nesse exercício:
Em laranja, a distância 'd' entre os pontos P e B;
Em azul a circunferência;
Em preto, a reta y = 2x + 8 que passa por A e B;
Em cinza, a reta y = (-1/2)x + 3 perpendicular à que passa por A e B passando pelo ponto C e;
Em vermelho, os pontos A, B, C e P.

Exercícios Resolvido - (UFG 06) - Achar o resto da divisão

(UFG 06) O maior número primo conhecido foi descoberto no ano passado por Martin Nowak. Ele é dado por 225.964.951 –  1. (GALILEU, São Paulo, n. 169, ago. 2005. p. 43). Considerando o algoritmo de Euclides para a divisão por 8 desse número, pode-se escrever a equação 225.964.951 –  1 = 8k + r. Então o resto r da divisão por 8 do maior primo conhecido é:       

a) 0       b) 2       c) 5       d) 6       e) 7

Solução:

$ 2^{25.964.951} \, = \, 2^3 \times 2^{25.964.948} \, = \, 8 \times 2^{25.964.948} $

Assim:

$ 2^{25.964.951} \, - \, 1 \, = \, 8k \, + \, r $

$ 8 \times 2^{25.964.948} \, - \, 1 \, = \, 8k \, + \, r $

Substituindo

$ 2^{25.964.948} \, = \, t $

$ 8t \, - \, 1 \, = \, 8k \, + \, r $

Como

$ -1 \, = \, -8 \, + \, 7 $

$ 8t \, - \, 1 \, = \, 8t \, - \, 8 \, + \, 7 \, = \, 8 \times \left (t \, - \, 1 \right ) \, + \, 7 \, = \, 8k \, + \, r $

Logo:

$$ k \, = \, 8 \times \left (t \, - \, 1 \right ) $$

$$ r \, = \, 7 $$

Assim, temos que

$$ 2^{25.964.951} \, = \, 8 \times \left (t-1 \right ) \, + \, 7 $$

Onde $ 8 \times \left (t-1 \right ) $ é claramente divisível por 8 e o resto da divisão é 7.

Letra e)

Exercício Resolvido - Conjuntos

Em uma sala de aula, 21 alunos falam francês, 20 não falam inglês, 32 só falam inglês e 45 só falam um desses dois idiomas. Pergunta-se:
a) Qual o total de alunos da sala?
b) Quantos falam os dois idiomas?

Solução:
Então temos os seguintes casos:
Alunos que falam somente francês: Vou chamar de F
Alunos que falam somente inglês: Vou chamar de I
Alunos que falam os dois idiomas: Vou chamar de IF
Alunos que não falam nenhum idioma: Vou chamar de N

F + IF = 21, pois 21 falam francês
F + N = 20, pois 20 não falam ingês
I = 32, pois 32 falam somente inglês
F + I = 45, pois 45 falam um, e apenas um, desses dois idiomas.

Assim:
F + I = 45
I = 32
Temos que F = 13

F = 13
F + IF = 21
IF = 8

F = 13
F + N = 20
N = 7

Assim, o total de aluno é:
F + I + IF + N = 13 + 32 + 8 + 7 = 60 alunos

IF = 8, logo 8 falam os dois idiomas.

Exercícios Resolvido - Petrobrás - Profissional Júnior Formação Administração - Questão 27

Se α e β são dois ângulos complementares, então o determinante da matriz:
é igual a:


(A) -6
(B) -2
(C) 0
(D) 2
(E) 6

Solução:
- Ângulos complementares são ângulos que somados tem como resultado 90°
Como o determinante dessa matriz será:
Sen(α)Cos(β)*2*0 + 1*1*2 + (-1)*Sen(β)Cos(α)*4 - (-1)*2*2 - 1*4*Sen(α)Cos(β) - 0*1*Sen(β)Cos(α)
= 0 + 2 - 4Sen(β)Cos(α) + 4 - 4Sen(α)Cos(β) - 0 = 6 - 4Sen(β)Cos(α) - 4Sen(α)Cos(β)


Mas, das propriedades trigonométricas sabe-se que:
Sen(a + b) = Sen(a)Cos(b) + Sen(b)Cos(a)


Logo:
Det = 6 - 4Sen(β)Cos(α) - 4Sen(α)Cos(β) = 6 - 4*[Sen(β)Cos(α) + Sen(α)Cos(β)]
Det = 6 - 4*[Sen(α + β)]
Det = 6 - 4*[Sen(90°)]
Det = 6 - 4*[1] = 6 - 4 = 2


Letra (D)

Exercícios Resolvido - Petrobrás - Profissional Júnior Formação Administração - Questão 26

Considere a sequência numérica an, ∈ ℕ definida por:

O termo an pode ser obtido através de:
(A) n∙log(2)
(B) (n+2)∙log(2)
(C) [n∙(n+1)/2]∙log(2)
(D) log(2ⁿ-1)
(E) log(2⁺¹-2)


Solução:
Utilizando a seguinte propriedade de logaritmo:
log(xⁿ) = n∙log(x), podemos dizer que:

an+1 = an + log(2⁺¹)
an+1 = an + (n+1)log(2)

Assim:
an = an-1 + n∙log(2)
Substituindo:

an+1 =  an-1 + n∙log(2)  + (n+1)log(2)

Se continuássemos com estas substituições:
an-1 = an-2 + (n-1)∙log(2)

an+1 =  an-2 + (n-1)∙log(2)  + n∙log(2)  + (n+1)log(2)
...

an+1 =  a1 + 2∙log(2) + 3∙log(2) + 4∙log(2) + ... + (n-1)∙log(2)  + n∙log(2)  + (n+1)log(2)
an+1 =  a1 + log(2)∙[2 + 3 + 4 + ... + (n-1) + n  + (n+1)]
Como a1 = log(2)
an+1 =  log(2) + log(2)∙[2 + 3 + 4 + ... + (n-1) + n  + (n+1)]
an+1 =  log(2)∙[1 + 2 + 3 + 4 + ... + (n-1) + n  + (n+1)]
Ainda, o termo an, que é o que interssa nesse exercício, é obtido por:
an =  log(2)∙[1 + 2 + 3 + 4 + ... + (n-1) + n ]
Perceba que dentro do [] existe a soma de uma PA (aula sobre Progressão Aritmética), que é dada pela fórmula:
S = (a1 + an)*(n/2) = (1 + n)*(n/2)
Assim,
an =  log(2)∙(1 + n)*(n/2)

Exercício resolvido - IME CG 2009/2010 - Estática

Duas barras AC e BD estão apoiadas e ligadas por pinos sem atrito, conforme a figura. As barras, de 4 m de comprimento, são feitas de material homogêneo e possuem massa linear igual a  5 kg/m. Sabendo que as barras formam um sistema em equilíbrio no momento em que o ponto  D é tracionado em  300 N e que, no meio da barra  AC, é colocado um corpo com 20 litros de volume, determine as reações horizontal e vertical, em Newtons, nos pontos A e B.
  Dados:
aceleração gravitacional = 10 m/s²
3 = 1,7
massa específica do corpo = 2000 kg/m³

Solução:
Como o sistema esta em equilíbrio temos que:
∑F = 0 (Somatório da forças = 0)
∑M = 0 (Somatório dos momentos = 0)

Para facilitar, vou decompor a força 300 N na direção horizontal e vertical. Além disso, como o corpo na barra AC tem 20 litros de volume (ou 0,02 m³) e que sua massa específica é de 2000 kg/m³, temos que sua massa é:
0,02*2000 = 40 kg
Como a aceleração da gravidade é 10 m/s²
Peso do corpo = 400 N.

Ambas as barras tem massa de 5 kg/m* 4 m = 20 kg, pesando 200 N cada uma.

Assim temos:
Observe que no ponto C existem 4 forças, 2 delas são a reação na barra AC, e duas na barra BD

Neste tipo de exercício, é interessante 'separarmos' as barras, já que cada uma delas deve estar em equilíbrio  pois não estão se movendo e nem girando.
Estudo da barra AC:


Equilíbrio das forças verticais:
RCVAC + 200 + 400 + RAV = 0
RCVAC = - 600 - RAV

Equilíbrio das forças horizontais:
RAH - RCHAC = 0
RAH = RCHAC

Momento em relação a qualquer ponto é nulo.
Vou fazer em relação ao ponto C, já que não estou interessado em calcular as forças em C, e sim em A e B:
RAV*4 + 400*2 + 200*2 = 0
RAV*4 = -1200
RAV = -300 N
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Veja também:

Exercício Resolvido - Força e momento resultante. Equilíbrio estático

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Disso, temos que:
RCVAC = -600 - RAV = - 600 + 300 = - 300 N

Obs.: É importante perceber que as forças que atuam no ponto C quando estudamos apenas a barra AC tem um sentido, porém ao estudarmos a barra BD, estas forças terão sentido contrário, já que serão a reação da barra AC na barra BD. Assim como os vetores dessas forças estão em sentidos contrários, RCVAC = RCVBD e RCHAC = RCHBD.
Estudo da barra BD:
Equilíbrio das forças verticais:
RBV - 200 +  RCVBD + 300*sen(30°) = 0
RBV - 200 +  RCVBD + 150 = 0
RBV +  RCVBD = 50

Equilíbrio das forças horizontais:
RBH + RCHBD + 300*cos(30°) = 0
RBH + RCHBD + 255 = 0
RBH + RCHBD = -255

Momento resultante em relação a qualquer ponto é nulo:
Novamente irei calcular em relação ao ponto C:
300*cos(30°)*1 - RBH*3 = 0
3RBH = 255
RBH = 85 N

Como RBH + RCHBD = -255
RCHBD = - 340 N

Falta resolver:
RAH = RCHAC
RBV +  RCVBD = 50
Sabemos que:
RCVBD = RCVAC = - 300 = - 300 N, logo, RCVBD = - 300 N
RCHBD = RCHAC = -340 N, logo, RCHAC = - 340 N

Com isso
RAH = - 340 N
RBV - 300 = 50
RBV = 350 N
Assim:
Forças em A:
RAV = -300 N
RAH = -340 N
Forças em B:
RBV = 350 N
RBH = 85 N

PS: Agora sim, certamente esta correto este exercício. Depois de algumas correções e momentos de reflexão (rs), esta é a resposta. Podem confiar..