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terça-feira, 22 de julho de 2014

Exercício Resolvido - Multiplicadores de Lagrange

Encontre os valores de máximo e mínimo global da função
$$ f(x,y) \, = \, y^2 \, - \, y^4 \, - \, x^2 $$
na região definida por
$$ x^2 \, + \, 4y^2 \, \leq \, 10 $$

Solução:
Este tipo de exercício deve ser feito utilizando a teoria de Multiplicadores de Lagrange. No caso, o conjunto definido por $ x^2 \, + \, 4y^2 \, \leq \, 10 $ é um conjunto compacto e portanto, como f(x,y) é contínua, ela assume máximo e mínimo em $ x^2 \, + \, 4y^2 \, \leq \, 10 $, porém, eles são pontos críticos referentes a máximos e mínimos locais da função f ou pontos da fronteira, onde $ x^2 \, + \, 4y^2 \, = \, 10 $. Neste caso devemos calcular os pontos críticos de f e os pontos críticos de f segundo a condição $ x^2 \, + \, 4y^2 \, = \, 10 $, utilizando os multiplicadores de Lagrange.

Cálculo dos pontos críticos de f:
$ \frac{∂f}{∂x} \, = \, -2x \, = \, 0 \, \rightarrow \, x \, = \, 0 $
$ \frac{∂f}{∂y} \, = \, 2y \, - \, 4y^3 \, = \, 2y \left ( 1 \, - \, 2y^2 \right ) \, = \, 0 \, \rightarrow \, \left \{ \begin{array}{c} y \, = \, 0 \\ y \, = \, \pm \, \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{array} \right. $
Pontos $\rightarrow \, \left (0,0 \right) \,  , \, \left(0, \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \, , \, \left(0, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$

Todos eles pertencem à região $ x^2 \, + \, 4y^2 \, \leq \, 10 $

Assim, devemos observar o seguinte teorema:
Teorema: Dada a função $ f: \, \Re ^2 \rightarrow \Re $ e $ (x_0, y_0) $ um ponto crítico de $ f $. Então:
a) Se det[H] no ponto $ (x_0, y_0) $ for menor que zero, então $ (x_0, y_0) $ é um ponto de sela;
b) Se det[H] no ponto $ (x_0, y_0) $ for maior que zero e também no ponto $ (x_0, y_0), \,  \frac{∂^2f}{∂x^2} \, > \, 0 $ então $ (x_0, y_0) $ é um ponto de mínimo local;
c) Se det[H] no ponto $ (x_0, y_0) $ for maior que zero e também no ponto $ (x_0, y_0), \,  \frac{∂^2f}{∂x^2} \, < \, 0 $ então $ (x_0, y_0) $ é um ponto de máximo local e;
d) Se det[H] no ponto $ (x_0, y_0) $ for igual a zero, então nada podemos afirmar.

Derivadas parciais de segunda ordem:
$ \frac{∂^2f}{∂x^2} \, = \, -2 $
$ \frac{∂^2f}{∂y^2} \, = \, 2 \, - \, 12y^2 $
$ \frac{∂^2f}{∂x∂y} \, = \, \frac{∂^2f}{∂y∂x} \, = \, 0 $

Determinante da Matriz Hessiana:
$$ \left | H \right | \, = \, \left| \begin{array}{cc} -2 & 0 \\ 0 & 2-12y^2 \\ \end{array} \right| \, = \, -2 \times \left ( 2 - 12 y^2 \right ) \, = \, -4 \, + \, 24y^2 $$

Para o ponto (0,0)
|H| = -4 $\rightarrow $ Ponto de Sela, logo não é nem máximo nem mínimo local e portanto, também não é global, por não ser um ponto da fronteira de $ x^2 \, + \, 4y^2 \, \leq \, 10 $.

Para o ponto $\, \left(0, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$
|H| = -4 + $ \frac{24}{2} $ =  8
$  \frac{∂^2f}{∂x^2} $ = -2 < 0 $\rightarrow $ Ponto de máximo local. Calculando $\, f \left(0, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \, = \, \frac{1}{4} $

Para o ponto $\left(0, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$
|H| = -4 + $ \frac{24}{2} $ =  8
$  \frac{∂^2f}{∂x^2} $ = -2 < 0 $\rightarrow $ Ponto de máximo local. Calculando $\, f \left(0, -\frac{1}{\sqrt{2}} \right) \, = \, \frac{1}{4} $

Cálculo dos pontos críticos na fronteira - pontos críticos de g(x,y) = f(x,y) + λ(x² + 4y² - 10) = y² - y⁴ - x² + λ(x² + 4y² - 10):
$$ \frac{∂g}{∂x} \, = \, -2x \, + \, 2λx \, = \, 2x \left ( λ \, - \, 1 \right ) \, = \, 0 $$
$$ \frac{∂g}{∂y} \, = \, 2y \, - \, 4y^3 \, + \, 8λy \, = \, 2y \left ( 1 \, - \, 2y^2 + 4λ \right ) \, = \, 0 $$

Assim, devemos resolver o sistema:

$$ \left \{ \begin{array}{l} 2x \left ( λ \, - \, 1 \right ) \, = \, 0 \\ 2y \left ( 1 \, - \, 2y^2 + 4λ \right ) \, = \, 0 \\  x^2 \, + \, 4y^2 \, = \, 10 \\ \end{array} \right. $$

Neste caso, como temos $ 2x \left ( λ \, - \, 1 \right ) \, = \, 0 $, então ou $x \, = \, 0$, ou $λ \, = \, 1$;
- Para $x \, = \, 0$, temos $x^2 \, + \, 4y^2 \, = \, 10$  onde obtemos $y \, = \, \pm \sqrt{\frac{5}{2}}$ $\rightarrow$  pontos: $ \left(0, \sqrt{\frac{5}{2}} \right) \, , \, \left (0, -\sqrt{\frac{5}{2}} \right)$. Calculando $f \left(0, \pm \sqrt{\frac{5}{2}} \right) \, = \, -\frac{15}{4}$

- Para $λ \, = \, 1$, temos $2y \left ( 1 \, - \, 2y^2 + 4λ \right ) \, = \, 0 $ onde obtemos:
$$ \left \{ \begin{array}{c} y \, = \, 0 \\ \left ( 5 \, - \, 2y^2 \right ) \, = \, 0 \, \rightarrow y \, = \, \pm \sqrt{\frac{5}{2}} \\ \end{array} \right. $$

Deste último caso:
$ y \, = \, 0 \,  , \, x \, = \, \pm \sqrt{10} \, \rightarrow \, \left ( \sqrt{10}, 0 \right) \, , \, \left ( -\sqrt{10},0 \right) \, \rightarrow \, f \left( \pm \sqrt{10},0 \right) \, = \, -10 $

Para $y \, = \, \pm \sqrt{\frac{5}{2}}$ o resultado é o obtido anteriormente, para x = 0.

Então, os pontos e os valores de f(x,y) na fronteira e no interior da região definida são:

Na fronteira:
Pontos: $\left( 0, \sqrt{\frac{5}{2}} \right) \, , \, \left (0, -\sqrt{\frac{5}{2}} \right) \, \rightarrow \,  f \left(0, \pm \sqrt{\frac{5}{2}} \right) \,  = \, -\frac{15}{4}$

Pontos: $ \left(\sqrt{10}, 0 \right) \, , \, \left (-\sqrt{10}, 0 \right) \, \rightarrow \, f \left ( \pm \sqrt{10}, 0 \right) \, = \, -10 $.

No interior:
Ponto: $ \left(0,0 \right) \, \rightarrow \, f \left(0,0 \right) \, = \, 0$

Pontos: $ \left(0, \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \, , \, \left (0, -\frac{1}{\sqrt{2}} \right) \, \rightarrow \, f \left ( 0, \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \, = \, \frac{1}{4}$

Logo, dos resultados obtidos, temos que -10 é o valor mínimo da função na região definida, $\frac{1}{4}$ é o valor máximo local e global na região definida, e $-\frac{15}{4}$ é um ponto de máximo na fronteira da região definida.

Veja também:
Exercício Resolvido - Geometria analítica e reta tangente
Exercício Resolvido - Pontos de máximo, mínimo e sela
Obs.: Perceba que na fronteira eu não calculei a segunda derivada para saber se os pontos são de máximo ou mínimo. Na verdade, por ser a função contínua na fronteira e, também na fronteira, ela ser uma curva e não uma superfície, não existe a possibilidade de haver um ponto de sela, neste caso ou o ponto crítico é de mínimo ou de máximo. Como nos pontos críticos da fronteira a função f(x,y) assume apenas dois valores (-10 e -15/4) então um deles só pode ser um ponto de máximo na fronteira e o outro só pode ser um ponto de mínimo na fronteira. Esta certeza existe pois sabemos que -15/4 > -10. Neste caso, para sair de -15/4 e chegar em -10 se o caminho não fosse unicamente crescente, certamente haveria outro ponto crítico que seria detectado nos cálculos.
Então, a certeza de que um deles é máximo na região da fronteira e o outro é mínimo na região da fronteira, vem do fato de eles serem pontos críticos, de existirem apenas 2 valores e da função ser uma curva e não uma superfície.
Abaixo, a superfície em amarelo, em azul a curva que marca a fronteira, em cinza os pontos $\left(0, \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ que são os pontos de máximo em toda a região, em vermelho os pontos $\left( \pm \sqrt{10}, 0 \right)$ que são pontos de minimo em toda região e em preto o ponto (0,0) que é ponto de sela e os pontos $\left(0, \pm \sqrt{\frac{5}{2}}\right)$ que são pontos de máximo na fronteira apenas:



segunda-feira, 21 de julho de 2014

Exercício Resolvido - Pontos de máximo, mínimo e sela

Ache os pontos de máximo e mínimo locais e pontos de sela da função:
$$f(x,y) \, = \, x^4 \, + \, y^4 \, - \, 4xy \, + \, 1 $$

Solução:
Dado o seguinte teorema temos:
Teorema: Dada a função f(x, y): $ \Re ^2 \, \rightarrow \, \Re $ tal que existam pontos de máximo ou mínimo locais no interior do seu domínio. Se nestes pontos existirem as derivadas parciais de primeira ordem de f(x,y), então elas são nulas.

Com isso, calculamos as derivadas parciais da função f(x,y):
$ f_x(x,y) \, = \, 4x^3 \, - \, 4y $
$ f_y(x,y) \, = \, 4y^3 \, - \, 4x $

Fazendo $ f_x \, = \, f_y \, = \, 0 $.
$ x^3 \, = \, y $
$ y^3 \, = \, x $

Assim, temos que:
$ y^9 \, = \, x^3 \, = \, y $
$ x^9 \, = \, y^3 \, = \, x $

Que só admite soluções reais do tipo:
$$ (x,y) \, = \, (1,1) $$
$$ (x,y) \, = \, (-1,-1) $$
$$ (x,y) \, = \, (0,0) $$

Assim, esses são os potos críticos. Para saber se são pontos de máximo local, mínimo local ou de sela, temos que calcular as derivadas parciais de f de segunda ordem e o determinante da matriz Hessiana ( [H] ):

$$ \left| \begin{array}{cc} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \\ \end{array} \right| \, = \, f_{xx} \times f_{yy} \, - \, f_{xy}^2 $$

Assim, devemos observar o seguinte teorema:
Teorema: Dada a função $ f: \, \Re ^2 \rightarrow \Re $ e $ (x_0, y_0) $ um ponto crítico de $ f $. Então:
a) Se det[H] no ponto $ (x_0, y_0) $ for menor que zero, então $ (x_0, y_0) $ é um ponto de sela;
b) Se det[H] no ponto $ (x_0, y_0) $ for maior que zero e também no ponto $ (x_0, y_0), \,  \frac{∂^2f}{∂x^2} \, > \, 0 $ então $ (x_0, y_0) $ é um ponto de mínimo local;
c) Se det[H] no ponto $ (x_0, y_0) $ for maior que zero e também no ponto $ (x_0, y_0), \,  \frac{∂^2f}{∂x^2} \, < \, 0 $ então $ (x_0, y_0) $ é um ponto de máximo local e;
d) Se det[H] no ponto $ (x_0, y_0) $ for igual a zero, então nada podemos afirmar.

Obs.: Vale a pena ressaltar que este teorema só vale para a matriz [H] sendo 2x2.

Cálculo das derivadas parciais de segunda ordem:
$ \frac{∂^2f}{∂x^2} \, = \, 12x^2 $
$ \frac{∂^2f}{∂y^2} \, = \, 12y^2 $
$ \frac{∂^2f}{∂x∂y} \, = \, \frac{∂^2f}{∂y∂x} \, = \, -4 $

Determinante da matriz Hessiana:
$$ \left| \begin{array}{cc} 12x^2 & -4 \\ -4 & 12y^2 \\ \end{array} \right| \, = \, 12x^2 \times 12y^2 \, - \, 16 \, = \, 144x^2y^2 \, - \, 16 $$

No ponto (1,1):
$ |H| \,  = \,  144 \,  - \,  16 \, = \, 128 \, > \, 0 $
$ \frac{∂^2f}{∂x^2} \, = \, 12x^2 \, = \, 12 \, > \, 0 $
Logo, este é um ponto de mínimo local;

No ponto (-1,-1):
$ |H| \,  = \,  144 \,  - \,  16 \, = \, 128 \, > \, 0 $
$ \frac{∂^2f}{∂x^2} \, = \, 12x^2 \, = \, 12 \, > \, 0 $
Logo, este também é um ponto de mínimo local;

No ponto (0,0):
$ |H| \,  = \,  0 \,  - \,  16 \, = \, -16 \, < \, 0 $
Logo, este é um ponto de sela;

Abaixo, veja a superfície formada por f(x,y) e os pontos (1,1), (0,0) e (-1,-1) representados em preto;




sexta-feira, 18 de julho de 2014

Exercício Resolvido - Geometria analítica e reta tangente

Encontre as equações paramétricas para a reta tangente à curva definida pela intersecção das superfícies:
$$ x^2 \, + \, y^2 \, = \, 4 $$
$$ x^2 \, + \, y^2 \, - \, z \, = \, 0 $$
no ponto de coordenadas $ \left ( \sqrt{2}, \sqrt{2}, 4 \right ) $.

Solução:
A primeira superfície é mais simples de perceber que é um cilindro. A segunda é um paraboloide. As superfícies podem ser vistas, separadas, abaixo:


Colocando elas juntas, temos:


Cálculo da curva da intersecção das superfícies:
Se há intersecção, então os valores de x, y e z devem ser iguais nas duas superfícies. A primeira superfície pode ser parametrizada da seguinte forma:

$ x^2 \, + \, y^2 \, = \, 4 $

$ \frac{x^2}{4} \, + \, \frac{y^2}{4} \, = \, 1 $

$ \left ( \frac{x}{2} \right )^2 \, + \, \left ( \frac{y}{2} \right )^2 \, = \, 1 $

Porém, das Relações Trigonométricas temos que $ Sen^2 (\alpha) \, + \, Cos^2 (\alpha) \, = \, 1 $. Assim:

$ \left ( \frac{x}{2} \right )^2 \, + \, \left ( \frac{y}{2} \right )^2 \, = \, 1 $

$ Sen^2 (\alpha) \, + \, Cos^2 (\alpha) \, = \, 1 $

Podendo ser feita a igualdade:

$ \frac{x}{2} \, = \, Sen(\alpha) $

$ \frac{y}{2} \, = \, Cos(\alpha) $

A equação paramétrica fica:

$ x \, = \, 2 Sen(\alpha) $

$ y \, = \, 2 Cos(\alpha) $

Como z pode assumir qualquer valor pois não é dependente de x nem de y na primeira superfície, então sua forma parametrizada pode ser z = z. Ficando, portanto:

$ x \, = \, 2 Sen(\alpha) $

$ y \, = \, 2 Cos(\alpha) $

$ z \, = \, z $

A outra superfície tem equação z = x² + y²
Assim, a curva de intersecção das superfícies na sua forma parametrizada é:

$ x \, = \, 2 Sen(\alpha) $

$ y \, = \, 2 Cos(\alpha) $

$ z \, = \, x^2 \, + \, y^2 = 4 Sen^2 (\alpha) \, + \, 4 Cos^2 (\alpha) \, = \, 4 $

Ou seja, a curva é uma circunferência de raio 2 na altura z = 4. Veja na figura abaixo a curva em cor vermelha:


O que o exercício pede é a reta tangente à curva de intersecção no ponto $ \left ( \sqrt{2}, \sqrt{2}, 4 \right ) $.
Esta reta terá equação do tipo

$ y \, = \, a x\, + \, b $

$ z \, = \, 4 $

Onde a é o coeficiente angular e b o coeficiente linear da reta. Porém, como ela é tangente no ponto $ \left ( \sqrt{2}, \sqrt{2}, 4 \right ) $ então o coeficiente angular da reta deve ser a derivada de y em relação a x $ \, \rightarrow \frac{dy}{dx} $ . A derivada pode ser calculada por:

$ x' \, = \, 2 Cos(\alpha) \alpha ' $

$ y' \, = \, -2 Sen(\alpha) \alpha ' $

$ \frac{dy}{dx} \, = \, \frac{y'}{x'} \, = \, \frac{-2 Sen(\alpha) \alpha '}{2 Cos(\alpha) \alpha '} \, = \, -tan(\alpha) $

Mas, no ponto $ \,  \left ( \sqrt{2}, \sqrt{2}, 4 \right ) \, $ temos que $ \,  2 Cos(\alpha) = \sqrt{2} \, $ e $ \,  2 Sen(\alpha) = \sqrt{2} \, $, logo, $ \, \alpha = \frac{\pi}{4} \, $. Assim, $ \, \frac{dy}{dx} \, = \,  -tan(\alpha) = -tan(\frac{\pi}{4}) \, = \, -1 \, \rightarrow \, a = -1 $.

Com isso, já é possível determinar a equação da reta:

$y \, = \, -1 \times x \, + \, b$

$ z \, = \, 4 $

Como ela passa pelo ponto $ \, \left ( \sqrt{2}, \sqrt{2}, 4 \right ) \, $, então:

$ \sqrt{2} \, = \, -1 \times \sqrt{2} \, + \, b $

$ b \, = \, 2 \times \sqrt{2} $

A equação da reta fica:

$ y \, = \, -1 \times x \, + \, 2 \times \sqrt{2} $

$ z \, = \, 4 $

A parametrização pode ser feita da seguinte forma:

$ x \, = \, t $

$ y \, = \, -t \, + \, 2 \sqrt{2} $

$ z \, = \, 4 $

Veja também:
Exercício Resolvido - Geometria analítica: Reta e elipse

Abaixo a figura com o ponto $ \, \left ( \sqrt{2}, \sqrt{2}, 4 \right ) \, $ em verde e em preto, a reta tangente:


Aproximando um pouco mais:


quinta-feira, 17 de julho de 2014

Exercício Resolvido - Paradoxo do aniversário

Em um grupo de n pessoas escolhidas aleatoriamente, qual a probabilidade de que pelo menos duas façam aniversário no mesmo dia?
Qual deve ser o menor valor de n para que a probabilidade seja superior a 95%?

Solução:
A solução deste exercício, como de qualquer exercício de probabilidade, pode ser calculando-se os casos favoráveis e somar todos eles, porém neste caso este procedimento é muito custoso e desnecessário. Perceba no caso de n = 4. Teríamos que calcular a probabilidade de 2 fazerem aniversário no mesmo dia, depois de 3 fazerem e depois os 4. Agora imagina este valor de n aumentando... Neste caso, é muito mais simples o cálculo dos casos que não estamos interessados (ou seja, todos fazerem em datas diferentes) e com isso, subtraindo de 1 sabemos a probabilidade que desejamos. Façamos para n = 4 das duas formas para que se verifique que o resultado é o mesmo:

Caso1: apenas 2 pessoas fazendo aniversário no mesmo dia:
- A primeira pessoa faz aniversário na data D $ \rightarrow $ probabilidade = 1 já que ela deve fazer aniversário em algum dia;
- A segunda faz em D também $ \rightarrow $ probabilidade = $ \frac{1}{365} $
- A terceira faz em outra data qualquer $ \rightarrow $ probabilidade = $ \frac{364}{365} $
- A quarta faz numa data diferente de D e diferente da terceira pessoa $ \rightarrow $ probabilidade = $ \frac{363}{365} $
Neste caso temos 6 combinações possíveis:
$$ P_1 \, = \, 6 \times \left ( 1 \times \frac{1}{365} \times \frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \right ) $$

Caso2: dois a dois fazem aniversário no mesmo dia:
- A primeira pessoa faz aniversário no dia D;
- A segunda pessoa faz aniversário no dia E diferente de D $ \rightarrow $ probabilidade = $\frac{364}{365} $;
- A terceira faz aniversário junto com a primeira $ \rightarrow $ probabilidade = $\frac{1}{365} $
- A quarta faz junto com a segunda $ \rightarrow $ probabilidade = $\frac{1}{365} $
Neste caso há três combinações:
- 1ª com 2ª e 3ª com 4ª;
- 1ª com 3ª e 2ª com 4ª e;
- 1ª com 4ª e 2ª com 3ª.
Assim:
$$ P_2 \, = \, 3 \times \left ( 1 \times \frac{364}{365} \times \frac{1}{365} \times \frac{1}{365} \right ) $$

Caso3: três fazendo aniversário no mesmo dia:
- A primeira faz no dia D;
- A segunda também $ \rightarrow $ probabilidade = $ \frac{1}{365}$;
- A terceira também $ \rightarrow $ probabilidade = $ \frac{1}{365}$;
- A quarta faz em outra data $ \rightarrow $ probabilidade = $ \frac{364}{365} $;
Temos aqui três combinações também, ficando:
$$ P_3 \, = \, 3 \times \left ( 1 \times \frac{1}{365} \times \frac{1}{365} \times \frac{364}{365} \right ) $$

Caso4: Todos fazendo aniversário na mesma data: Neste caso não há combinações por ser uma condição única, portanto não aparece termo multiplicando:
$$ P_4 \, = \, 1 \times \frac{1}{365} \times \frac{1}{365} \times \frac{1}{365} $$

A probabilidade total será:
$$ P = P_1 + P_2 + P_3 + P_4 \, \approx \, 0,0163 $$

Porém, a probabilidade de todos fazerem aniversário em datas diferentes é:
$$ P_{dif} \, = \, 1 \times \frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \times \frac{362}{365}  $$
Assim:
$$ P \, = \, 1 \, - \, P_{dif} \, \approx \, 0,0163 $$

Portanto, a probabilidade de pelo menos duas pessoas fazerem aniversário no mesmo dia num grupo de n pessoas é de:
$$ P \, = \, 1 \, - \, 1 \times \frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \times ... \times \frac{366-n}{365} $$

Em termos gerais, temos que a probabilidade é dada por:
$$ P \, = \, 1 \, - \, \frac{365!}{365^n \times (365-n)!} $$
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Veja também:
Exercício Resolvido - Probabilidade de ninguém pegar seu próprio nome em um amigo secreto
Exercício Resolvido - Prova CORSAN 2014: Probabilidade
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Assim, o menor valor de n para que a probabilidade seja maior que 95% é de n = 47, onde P $\approx$ 95,5%. Perceba que num grupo de 47 pessoas, é quase certo que duas delas fazem aniversário na mesma data.
Outro exemplo é o caso de um jogo de futebol. Considerando o juiz e os auxiliares, temos 25 pessoas. A probabilidade de pelo menos dois fazerem aniversário no mesmo dia é de 56,87%.
Em tempos de álbum da copa do mundo, cada equipe tem 17 figurinhas de jogadores. A probabilidade de que pelo menos dois deles façam aniversário no mesmo dia é de 31,5%. Ou seja, das 32 equipes, espera-se que 10 delas tenham pelo menos 2 jogadores que façam aniversário no mesmo dia.

Exercício Resolvido - Continuidade, limite e derivada parcial

Seja a função $ f: \Re ^2 \, \rightarrow \, \Re $ dada por:

$$ f(x,y) =
\left \{
\begin{array}{cc}
\frac{ x^3 y^2 }{x^4 + y^4}, & (x,y) \neq (0,0) \\
0, & (x,y) = (0,0) \\
\end{array}
\right. $$

mostre que ela é contínua em (0,0) e determine as derivadas parciais $ f_x (0,0) $ e $ f_y (0,0) $.

Solução:
Para verificar a continuidade devemos calcular o limite abaixo e ele deve dar zero:

$$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0) } \frac{ x^3 y^2 }{x^4 + y^4} $$

Para continuar, é preciso perceber que todo valor ao quadrado é positivo ou zero, assim:
$ \left ( x^2 \, - \, y^2 \right )^2 \, \geq \, 0 $
$ x^4 \, - \, 2 x^2 y^2 \, + \, y^4 \, \geq \, 0 $
$ x^4 \, + \, y^4 \, \geq 2 x^2 y^2 $
$ \frac{1}{2} \, \geq \, \frac{x^2 y^2}{x^4 \, + \, y^4} $

Como só temos termos ao quadrado e à quarta, $ \frac{x^2 y^2}{x^4 \, + \, y^4} $ certamente não é negativo, assim:

$$ \frac{1}{2} \, \geq \, \frac{x^2 y^2}{x^4 \, + \, y^4} \, \geq \, 0 $$

Logo, o termo $ \frac{x^2 y^2}{x^4 \, + \, y^4} $ é limitado. Assim, fazendo a igualdade e substituindo $ \frac{x^2 y^2}{x^4 \, + \, y^4} \, = \, t $ temos:

$$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0) } x \times \left ( \frac{ x^2 y^2 }{x^4 + y^4} \right ) = \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0) }{ x \times t} $$

Como $ x \, \rightarrow \, 0 $ e $ t $ é limitado, o limite é zero:

$$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0) }{ x \times t} \, = \, 0 $$

Perceba na figura a seguir como realmente a superfície tende a zero em qualquer direção:



As derivadas parciais no ponto (0,0) devem ser calculadas pela definição:

$$ f_x (0,0) \, = \, \lim_{h \rightarrow 0 }{ \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h}} \, = \, \lim_{h \rightarrow 0 }{ \frac{h^3 0^2}{h^4+0^4}} \, - \, 0 \, = \, 0 $$
$$ f_y (0,0) \, = \, \lim_{h \rightarrow 0 }{ \frac{f(0,h) - f(0,0)}{h}} \, = \, \lim_{h \rightarrow 0 }{ \frac{0^3 h^2}{0^4+h^4}} \, - \, 0 \, = \, 0 $$

Logo:

$$ f_x(0,0) \, = \, 0 $$
$$ f_y(0,0) \, = \, 0 $$

Veja na figura a seguir a reta f(x,0) em vermelho e a reta f(0,y) em amarelo. Perceba que elas não variam e são identicamente nulas, ou seja, f(x,0) = 0 e f(0,y) = 0 para qualquer valor de x ou y. Isso garante que a derivada parcial destas funções no ponto (0,0) deve ser zero pois a função não varia nas direções (1,0) e (0,1), confirmando o que foi obtido anteriormente. Ainda, para ser mais abrangente, as derivadas parciais serão sempre nulas se x = 0 ou se y = 0 (ou, claro, se ambos forem nulos).


Espaço vetorial finitamente gerado, Dependência linear e Base de um espaço vetorial finitamente gerado

ESPAÇO VETORIAL FINITAMENTE GERADO
A forma mais fácil de se entender o que isso significa é através de exemplos. Considere o conjunto dos números reais. Este conjunto é um espaço vetorial sobre ele mesmo (Veja O que é um espaço vetorial) segundo a soma e a multiplicação que conhecemos.
Agora, seja o conjunto S = {1}, onde S $ \subset \, \Re $. É muito fácil perceber que qualquer valor real pode ser obtido através de uma Combinação Linear de {1}.

Exemplo:
$ 4,123904 \, = \, 4,123904 \times 1 $
$ \pi \, = \, \pi \times 1 $
$ \sqrt{2} \, = \, \sqrt{2} \times 1 $

Desta forma, $ \Re $ é um espaço vetorial finitamente gerado onde S gera $ \Re $. Infinitos outros conjuntos podem ser geradores de $ \Re $. O {1} é apenas um exemplo bastante didático para se utilizar, já que fica muito fácil perceber.

Para $ \Re ^2 $ é bastante simples de perceber que S = {(1,0) , (0,1)} é um conjunto gerador, porém S = {(-1,1) , (1,1)} também é um conjuntos gerador de $ \Re ^2 $. Veja:

Exemplo:
$ \left (4,10 \right ) \, = \, \alpha \times \left (-1,1 \right ) \, + \, \beta \times \left (1,1 \right ) $
$ \alpha \, = \, 3 , \, \beta \, = \, 7 $

Assim, para qualquer $ \left (a,b \right ) \, \in \, \Re ^2 $ temos que:
$ \left (a,b \right ) \, = \, \alpha \times \left (-1,1 \right ) \, + \, \beta \times \left (1,1 \right ) $
$ \alpha \, = \, \frac{a-b}{2} , \, \beta \, = \, \frac{a+b}{2} $

O que garante que S = {(-1,1) , (1,1)} gera $ \Re ^2 $

Assim, definimos:
Um espaço vetorial V é finitamente gerado quando existe um conjunto S $ \subset $ V, S finito, onde S gera V.

DEPENDÊNCIA LINEAR
Definição: Um conjunto S = { $ u_1 , \, u_2 , \, u_3 , \, ... $ } $ \subset $ V é linearmente independente se, e somente se, a relação $ \alpha _1 u_1 + \alpha _2 u_2 + \alpha _3 u_3 + ... = o , \, \alpha _i \, \in \, \Re $ só existir  para $ \alpha _1 = \alpha _2 = \alpha _3 = ... = 0 $.

Exemplo:
S = {(-1,1) , (1,1)}
$ \alpha _1 \times \left (-1,1 \right ) + \alpha _2 \times \left (1,1 \right ) \, = \, o $
$ - \alpha _1 + \alpha _2 \, = \, 0 $
$ \alpha _1 + \alpha _2 \, = \, 0  $

Que só é possível se $ \alpha _1 = \alpha _2 = 0 $. Assim, o conjunto S = {(-1,1) , (1,1)} é linearmente independente.
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BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL FINITAMENTE GERADO
Um conjunto S $ \subset $ V é uma base de V se:
1 - S gera V e;
2 - S é linearmente independente.

Com essas condições podemos concluir que o conjunto S = {(-1,1) , (1,1)} é uma base de $ \Re ^2 $.
Podemos perceber também que S = {1} é uma base de $ \Re $ e S = {(1,0) , (0,1)} é outra base de $ \Re ^2 $.

terça-feira, 1 de julho de 2014

Sub-espaço Vetorial e Combinação Linear

Sub-espaço Vetorial

Definição: Dado um espaço vetorial $ V $ sobre $ \Re $, um sub-espaço vetorial de $ V $ é um conjunto $ W \,  \subset \, V $, que apresenta as seguintes propriedades:
a) $ o \, \in \, W $
b) $ \forall u, \, v \, \in \, W, \, u \, + \, v \, \in \, W $
c) $ \forall \alpha \, \in \, \Re $ e $ \forall u \, \in \, W, \, \alpha u \, \in \, W $

Com estas propriedades é possível verificar a Proposição I abaixo:

Proposição I - Se $ W $ é um sub-espaço vetorial de $ V $, então $ W $ também é um espaço vetorial sobre $ \Re $.

A prova deve ser feita verificando os oito itens que definem um Espaço Vetorial (Veja O que é um Espaço Vetorial)

Faremos alguns, apenas para demonstrar:
I-a)
Este item é praticamente direto, já que todo elemento de $ W $ é também elemento de $ V $, já que $ W \, \subset \, V $, assim, sejam $ u, \, v \, \in \, W $, temos que $ u, \, v \, \in \, V $, logo certamente $ u \, + \, v \, = \, v \, + \, u $, já que $ V $ é um espaço vetorial.

I-d)
Para mostrar que um sub-espaço satisfaz este item, basta usar a definição c) acima e fazer $ \alpha \, = \, -1 $. Com isso mostramos que no sub-espaço $ W $ possui o elemento oposto.

Combinação Linear
Adotando $ V $ um espaço vetorial. Sejam $ \left \{ v_1, \, v_2, \, v_3, \, ..., \, v_n \right \} $ elementos de $ V $. Seja o conjunto de elementos formados da seguinte forma:
$$ \left [ L \right ] \, = \,  \left \{ \alpha_1 v_1 \, + \, \alpha_2 v_2 \, + \, \alpha_3 v_3 \, + \,  ... \, + \, \alpha_n u_n \, | \, \alpha_1, \, ... \, , \alpha_n \, \in \, \Re \right \} $$

É possível mostrar que [L] é um sub-espaço vetorial:
a) Basta fazer todos os $ \alpha \, = \, 0 $

b) Se $ v \, = \, \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + ... \, e \, w \, = \,  \beta_1 v_1 + \beta_2 v_2 + ... $ pertencem a [L].
Então:
$ v \, + \, w \, = \, ( \alpha_1 \, + \, \beta_1) v_1 \, + \, ( \alpha_2 \, + \, \beta_2) v_2 \, + \, ... $ também pertence, pois $ \left ( \alpha_n \, + \, \beta_n \right ) \, \in \, \Re, \, \forall n $

c) Seja $ v \, = \, \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + ... $
então
$ \alpha v \, = \, \alpha \times \left ( \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + ... \right ) $
$ \alpha v \, = \, \alpha \times \alpha_1 v_1 + \alpha \times \alpha_2 v_2 + ...  $
Mas como $ \alpha $ e $ \alpha_n $ são números reais, então $ \alpha \times \alpha_n $ também será, o que garante que, para qualquer $ \alpha \, \in \, \Re $ e para qualquer $ v \, \in \, [L], \, \alpha \times v \, \in [L] $

Assim:
Cada elemento do sub-espaço [L] que acabamos de definir é uma combinação linear dos elementos $ \left \{ v_1, \, v_2, \, v_3, \, ..., \, v_n \right \} $

segunda-feira, 30 de junho de 2014

Propriedades de um Espaço Vetorial

Após definir o que é um espaço vetorial, algumas propriedades podem ser observadas de forma quase imediata. A seguir veremos algumas delas:

Propriedade I: $\forall \alpha \, \in \, \Re, \, \alpha o \, = \, o$
Propriedade II: $\forall u \, \in \, V, \, u0 \, = \, 0$
Propriedade III: Se $\alpha u \, = \, o$ para $\alpha \, \in \, \Re$ e $u \, \in \, V$, então ou $\alpha \, = \, 0!$ ou $u \, = \, o$
Propriedade IV: $\forall \alpha \, \in \, \Re$ e $\forall u \, \in \, V, \, (-\alpha) u \, = \, \alpha (-u) \, = \, -(\alpha u)$
Propriedade V: $\forall \alpha \, \beta \, \in \, \Re$ e $\forall u \, \in \, V, \, (\alpha \, - \, \beta)u = \alpha u \, - \, \beta u$


Veja também:
O que é um Espaço Vetorial


Exemplo:
Prove a Propriedade I:
Das definições de Espaço Vetorial II-c e I-c, temos que:
$\alpha o \, = \, \alpha (o \, + \, o) \, = \, \alpha o \, + \, \alpha o$
Seja a igualdade $\alpha o \, = \, \alpha o$
Somando $- \alpha o$ de ambos os lados da igualdade temos:
$o \, = \, - \alpha o \, + \, \alpha o \,$
Aplicando o que foi mostrado acima, onde $\alpha 0 \, = \, \alpha o \, + \, \alpha o$ temos
$o \, = \, - \alpha o \, + \, \alpha o \, + \, \alpha o \, = \, \alpha o$
Ou seja:
$o \, = \, \alpha o$

O que é um espaço vetorial?

Definição: Um conjunto $V\, \neq \, \emptyset$ é um espaço vetorial sobre $ \Re $ se, e somente se, satisfizer as seguintes condições:

I - Existir uma adição em $V$ com as seguintes propriedades:
a) $u\, +\, v\, = \, v\, + \, u, \, \forall u , \, v \, \in \, V$
b) $u \, + \, (v \, + \, w) \, = \, (u \, + \, v) \, + \, w, \forall u, \, v , \, w \in \, V$
c) Existe em $V$ um elemento neutro para essa adição, simbolizado por $o$, onde:
$$u \, + \, o \, = \, u, \forall \, u \, \in \, V$$
d) Para todo elemento $u$ de $V$, existe seu oposto onde:
$$u \, + \, (-u) \, = \, o$$

II - Existir uma multiplicação $\Re \times V$ em $V$, ou seja, para todo par ($\alpha, u$) onde $\alpha \, \in \, \Re$ e $u \, \in \, V$, existe um, e apenas um elemento $v$ de $V$ tal que $\alpha \times u \, = \, v$, e para essa multiplicação tem-se, $ \forall \, \alpha, \, \beta \, \in \, \Re$:
a) $\alpha ( \beta u) \, = \, (\alpha \beta)u$
b) $(\alpha \, + \, \beta)u \, = \, \alpha u \, + \, \beta u$
c) $\alpha ( u \, + \, v) \, = \, \alpha u \, + \, \alpha v$

Portanto, qualquer que seja a "soma" e a "multiplicação" definidas em um conjunto tais que satisfaçam as condições acima, teremos que o conjunto é um espaço vetorial segundo esta soma e esta multiplicação.

domingo, 8 de junho de 2014

Exercício Resolvido - Integral

Calcule as seguintes integrais:

1) Cos²(x)*Tan³(x)
2) Sec⁴(x/2)
3) Senⁿ(x)
4) Sen⁴(x)

Solução:

1)



Substituindo na integral:


Como há uma subtração no integrando, podemos separar em duas integrais


Simplificando a segunda integral temos:


Como a derivada de Cos(x) = -Sen(x), vou chamar Cos(x) de 'u', ou seja, Cos(x) = u, logo, derivando de ambos os lados -Sen(x)dx = du.
Fazendo a substituição nas integrais:

Onde k1 e k2 são constantes arbitrárias que podemos substituir por k1 + k2 = k. Porém, como u = Cos(x).


2) Neste, a integral será com limites:


Para utilizar a integração por partes:


Nomeando convenientemente cada um dos fatores do integrando:


Integrando por partes:



Substituindo Tan(x/2) = u, onde du = (1/2)Sec²(x/2)dx


Como u = Tan(x/2)


Como Tan(0) = 0



3) Integrando Senⁿ(x) por partes


Mas, das relações trigonométricas temos que Cos²(x) + Sen²(x) = 1, ou seja, Cos²(x) = 1 - Sen²(x)


Assim:



4) Usando o resultado do exercício 3) para n = 4, temos:


Para calcular a integral de Sen²(x) é possível utilizar o resultado obtido no exercício 3) também, para n = 2.


Onde C é uma constante qualquer.
Das relações trigonométricas temos que Sen(2x) = 2Sen(x)Cos(x)


Assim, substituindo:


Porém, como C é uma constante arbitrária, 3C/4 também será. Assim, para facilitar pode-se usar K = 3C/4


sábado, 7 de junho de 2014

Exercício Resolvido - Geometria Espacial: Plano e esfera

Determine a razão entre o volume da esfera e o volume do cubo da figura abaixo sabendo que a esfera tangencia três faces do cubo e o plano secante formado pelo hexágono. Os pontos do hexágono são pontos médios das 6 arestas do cubo.


Solução:

Para definirmos a esfera é preciso conhecer as coordenadas do seu centro e o seu raio.
O exercício nos fala que a esfera tangencia 4 planos:
- Plano superior definido por z = a (onde a é a aresta do cubo e z o eixo vertical);
- Plano lateral esquerdo definido por y = 0;
- Plano frontal definido por x = a e;
- Plano formado pelo hexágono.

Dos planos tangentes sabe-se que o vetor formado pelo ponto central da esfera e o ponto de tangência é perpendicular ao plano tangente. Por exemplo, no caso do plano z = a (superior) se o ponto de tangência é definido por (x1, y1, a) e o ponto do centro da esfera definido por (xc, yc, zc) temos que o vetor V = (xc - x1, yc - y1, zc - a) é perpendicular ao plano z = a. Como o vetor (1, 1, 0) é paralelo ao plano z = a, então:

<(xc - x1, yc - y1, zc - a),(1,1,0)> = 0

O que nos leva que:
xc = x1
yc = y1

Este resultado é bastante intuitivo pois se a esfera é tangente ao plano z = a, então o centro dela terá coordenadas xc e yc iguais às coordenadas x1 e y1 já que este plano é paralelo ao plano formado pelo eixos xy. O mesmo raciocínio pode ser usado para os planos y = 0 e x = a. No caso de y = 0, seja (x2, 0, z2) o ponto de tangência da esfera. Assim, xc = x2 e zc = z2. Da tangência com o plano x = a, temos o ponto (a, y3, z3), neste caso, yc = y3 e zc = z3. Na figura abaixo fica mais fácil de perceber isso.


Na figura acima, em preto tracejado estão as reta que ligam o centro da esfera com os pontos de tangência nas faces do cubo e em verde, os pontos de tangência. Perceba que no caso do ponto de tangência com o plano superior do cubo, a linha que liga o centro da esfera com ele é totalmente vertical, logo as coordenadas x e y de ambos os pontos devem ser iguais. O mesmo raciocínio pode ser feito aos outros dois pontos. Assim, já podemos concluir que:
x1 = x2 = xc
y1 = y3 = yc
z2 = z3 = zc

Agora, verificando a tangência com o hexágono.
Como em qualquer caso de tangência de um plano com uma esfera, a linha que une o ponto de tangência com o centro da esfera é perpendicular ao plano.
Do plano do hexágono nós conhecemos 6 pontos (os vértices do hexágono). Com apenas três deles é possível definir um plano. Usarei os pontos (a/2, a, a), (0, a/2, a) e (a, a, a/2) para definir o plano.


Neste caso podemos definir dois vetores:
V1 = (a/2, a, a) - (a, a, a/2) = (-a/2, 0, a/2) = (-1,0,1)
V2 = (a/2, a, a) - (0, a/2, a) = (a/2, a/2, 0) = (1,1,0)

Com o produto vetorial destes vetores podemos obter o vetor perpendicular ao plano formado pelo hexágono. Este vetor é importante pois define o plano.


Assim, o plano é definido por:

<(-1,1,-1), (x-a, y-a, z-a/2)> = 0
-(x-a) + (y-a) - (z-a/2) = 0
-x + a + y - a - z + a/2 = 0
x - y + z = a/2
z = a/2 + y - x
Logo, podemos definir genericamente o ponto de tangência da esfera com o plano do hexágono:
P4 = (x, y, a/2 + y - x) 
já que este ponto pertence ao plano.

Assim, já conhecemos, genericamente, os 4 pontos de tangência, são eles:
P1 = (xc, yc, a)
P2 = (xc, 0, zc)
P3 = (a, yc, zc)
P4 = (x4, y4, a/2 + y4 - x4)

Porém, todos estes pontos pertencem à esfera, logo devem satisfazer a equação da esfera, dada por:
(x - xc)² + (y - yc)² + (z - zc)² = r²
Onde r é o raio da esfera.

Assim, para cada ponto temos:
P1:
(xc - xc)² + (yc - yc)² + (a - zc)² = r²
(a - zc)² = r²
zc = a - r
P2:
(xc - xc)² + (0 - yc)² + (zc - zc)² = r²
yc² = r²
yc = r
P3:
(a - xc)² + (yc - yc)² + (zc - zc)² = r²
xc = a - r
P4:
(x4 - xc)² + (y4 - yc)² + (a/2 + y4 - x4 - zc)² = r²

A equação para o ponto P4 ainda não vou desenvolvê-la pois vai ficar muito grande. É mais conveniente manter ela "guardada" a depois de obter outros resultados que possam simplificá-la, voltamos a ela.

Do plano formado pelo hexágono podemos definir dois vetores que serão úteis:
- Vetor com origem no centro da esfera e final no ponto de tangência com o hexágono:
V4 = (x4, y4, a/2 + y4 - x4) - (xc, yc, zc) = (x4 - xc, y4 - yc, a/2 + y4 - x4 - zc)
Este vetor é perpendicular ao plano, e portanto paralelo ao vetor V3 = (-1, 1, -1)

- Um vetor paralelo ao plano, com origem e término em quaisquer dois pontos do plano. Usarei os ponto:
(a, a/2, 0) e (0, a/2, a) para definir este vetor:
V5 = (a, a/2, 0) - (0, a/2, a) = (a, 0, -a) = (1, 0, -1)
Este vetor é paralelo ao plano e portanto perpendicular ao vetor V4.

Se V4 é perpendicular a V5, então o produto escalar entre eles será zero:
<(x4 - xc, y4 - yc, a/2 + y4 - x4 - zc), (1, 0, -1)> = 0
x4 - xc - a/2 - y4 + x4 + zc = 0
y4 = - xc - a/2 + 2x4 + zc
Como zc = xc
y4 =2x4 - a/2

Se V4 é paralelo a V3, então o produto vetorial entre eles é um vetor nulo:
Com os resultados que já obtemos até aqui, podemos simplificar o vetor V4:
V4 = (x4 - xc, y4 - yc, a/2 + y4 - x4 - zc) = (x4 - xc, 2x4 - a/2 - yc, a/2 + 2x4 - a/2 - x4 - zc)
V4 = (x4 - a + r, 2x4 - a/2 - r, x4 - a + r)
Assim, o produto vetorial fica:


Como o produto é um vetor nulo, temos que:
x4 = a/2
Assim:
y4 = 2x4 - a/2 = a/2

Voltando à equação (x4 - xc)² + (y4 - yc)² + (a/2 + y4 - x4 - zc)² = r², temos que:
(a/2 - a + r)² + (a/2 - r)² + (a/2 + a/2 - a/2 - a + r)² = r²
(-a/2 + r)² + (a/2 - r)² + (- a/2 + r)² = r²
Como (a/2 - r)² = (-a/2 + r)², pois ambos estão ao quadrado, temos:


Porém, a solução r1 é maior que a, o que é incompatível, já que o raio da esfera não pode ser maior que o lado do cubo. Portanto, o raio da esfera é igual a r2.
Assim, a razão entre os volumes vale:


A seguir é possível verificar a esfera, os planos tangentes e os pontos de tangência.


sexta-feira, 6 de junho de 2014

Princípio da indução finita

Este princípio é utilizado para a solução de diversos exercícios porém ele serve apenas para exercícios que envolvem números inteiros e para exercícios que pedem que seja provado que algo é verdadeiro para um conjunto de valores inteiros.
Vou falar sobre o princípio utilizando a fórmula da soma da PA (Progressão Aritmética) para esclarecer.
  

Para isso, será necessário o uso da fórmula do termo geral da PA:


Voltamos ao método, que basicamente consiste em 3 etapas:

1ª Etapa - Dado um conjunto de valores inteiros que se deseja verificar a validade de algo proposto, deve-se verificar se é válido para o menor valor do conjunto.
No exemplo então, vamos verificar se a fórmula da soma da PA é válida para n = 1. Neste caso, é muito fácil perceber já que a soma será igual a a1, já que este é o único termo.
Vamos verificar se usando a fórmula o resultado é obtido:


O resultado obtido é correto, logo a fórmula da Soma da PA vale para o menor elemento do conjunto.

2ª Etapa - Assume-se que para um elemento 'k' qualquer e genérico do conjunto a fórmula é verdadeira.
Do exemplo vamos calcular a soma dos primeiros 'k' elementos do conjunto, neste caso, pela fórmula da soma da PA teremos que:


3ª Etapa - Assumindo que o resultado obtido na Etapa 2 seja verdadeiro, calculamos o resultado para 'k+1' e verificamos se obtemos a fórmula desejada.
Do exemplo usado temos então que a soma dos 'k+1' primeiros elementos é a soma dos 'k' primeiros elementos mais o elemento 'k+1'. Veja:


Observe que se usarmos a fórmula da soma da PA para calcular a soma dos 'k+1' primeiros termos (substituindo n = k+1) teremos exatamente o resultado acima. Portanto, provamos que a fórmula é válida sempre. Porém, por que podemos concluir isso? Por que o uso do princípio garante a validade da fórmula para qualquer quantidade de elementos?

Bom, tudo se resume nas etapas que foram seguidas. 
Foi mostrado que para o primeiro elemento a fórmula é válida. 
Após isso, supomos na Etapa 2 que para um número de elementos 'k' qualquer ela é válida e a partir do resultado da Etapa 2 obtemos o resultado para 'k+1' e verificamos que ele é válido. A grande dúvida que surge é por que podemos garantir que o resultado obtido na Etapa 2 é válido?

Na verdade a gente não garante isso, apenas supõe. Porém se a partir do resultado da Etapa 2 pudermos obter um resultado satisfatório na Etapa 3 então o resultado é válido. O que garante isso é o seguinte raciocínio:

- Para o menor elemento a equação é válida;
- Então, se 'k' = 1 a nossa suposição da Etapa 2 é verdadeira, e não apenas uma suposição, já que mostramos na Etapa 1 isso;
- Mas na Etapa 3 nós mostramos que se 'k' é verdadeiro, então 'k+1' também é;
- Como para 'k' = 1 vimos que é verdadeiro na Etapa 1, então certamente para 'k' = 2 também será, como visto na Etapa 3;
- Mas se para 'k' = 2 é verdadeiro, então para 'k' = 3 também será;
- Mas se para 'k' = 3 é verdadeiro, então para 'k' = 4 também será;
- ...

Assim, o princípio garante que para qualquer 'k' ele é verdadeiro, desde que as etapas sejam obtidas.

Exercícios que o princípio foi usado:

sábado, 31 de maio de 2014

Exercício Resolvido - Limite e função

Seja o conjunto de funções do tipo fn(x) = -(1/kn²)x + 2/kn, onde kn assume qualquer valor real positivo. Determine qual é a função g(x) formada pela intersecção de infinitas retas do tipo fn, conforme figura a seguir.

Solução:

Veja que na figura acima as retas do gráfico foram para os valores de k = n/3, para n = 1,2,3,...,12, conforme figura que segue:


Quando estas retas são sobrepostas é que é possível ver a tendência à formação de uma outra curva, neste caso ilustrada em preto na figura ilustrativa do exercício. Porém, é importante perceber que não é simplesmente a intersecção das retas que gera esta curva, mas sim a intersecção das retas mais próximas, ou seja, a intersecção da reta para k = 1/3 com a reta para k = 4 não fica na fronteira formadora da curva desejada. Além disso, a formação da curva acontece à medida que os valores de k se aproximam. Perceba na figura abaixo que, na verdade, a curva g(x) não passa pelos pontos de intersecção das retas, mas a medida que os valores de k se tornam mais próximos, o ponto de intersecção passa a se aproximar de g(x).


Neste caso, as retas foram formadas para k1 = 2 e k2 = 2/3.
Para k1 = 0,95 e k2 = 1,05 foi preciso dar um zoom na figura para poder ver exatamente o que acontece, pois o ponto de intersecção das retas se aproxima muito da curva em preto:


Veja que o ponto esta mais próximo, mas a curva g(x) ainda não passa por ele. Na verdade o ponto de intersecção das retas será um ponto da curva g(x) apenas no limite para k1 tendendo a k2.

Neste caso então, vou supor que k2 = k1 + eps, onde 'eps' é um valor muito pequeno, depois irei fazer ele tender a zero. Assim, substituindo na equação fn(x) temos:


Mas no ponto de intersecção, f1(x) = f2(x)


Assim, calculamos o valor de x no ponto de intersecção. Chamarei de xo:


Fazendo o limite para eps tendendo a zero, temos:
Substituindo na equação f1 para x = xo = k1 temos:
Obs.: Se xo = k1 fosse substituído na função f2, para k2 = k1 + eps com eps tendendo a zero, o resultado seria o mesmo, já que estamos procurando o ponto de intersecção.

Assim, temos que no limite, para k1 tendendo a k2 (ou seja, para eps tendendo a zero) o ponto de intersecção das curvas é dado pelo par ordenado (k1, 1/k1). Ou seja, y = 1/x. Logo, a função g(x) definida pelas retas é:

g(x) = 1/x

Veja a seguir o gráfico com 100 curvas e, no gráfico da direita em preto, a curva g(x) = 1/x


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