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Exercício Resolvido - Análise de vetores

Sejam u, v, w vetores no plano, tais que:
|u| = |v| = |u + v| = 1
<u, w> = <v, w>

a) prove que o ângulo entre u e v é de 120°.
b) prove que existe uma constante C, tal que w = C*(v + u)

Solução:

a) Como os vetores estão no plano, eles possuem apenas duas dimensões. Assim, vou adotar como u = (a,b) e v = (c,d).

Sei que |u| = 1, logo, √(a² + b²) = 1, ou seja, + = 1.
De |v| = 1, temos também que + = 1

Por serem u e v vetores unitários, temos que:
a = Sen(t) e
b = Cos(t)

Onde t é o ângulo que o vetor forma com o eixo horizontal (eixo x)

c = Sen(k) e
d = Cos(k)

Onde k é o ângulo que o vetor forma com o eixo horizontal (eixo x)
Assim:
u = (Sen t, Cos t)
v = (Sen k, Cos k)

Temos ainda que:
|u + v| = 1

|(Sen t + Sen k, Cos t + Cos k)| = √[(Sen t + Sen k)² + (Cos t + Cos k)²] =
√[Sen² t + Sen² k + 2(Sen t) (Sen k) + Cos² t + Cos² k + 2(Cos t) (Cos k)] = 1

Elevando ao quadrado dos dois lados e sabendo que Sen² t + Cos² t = 1 e Sen² k + Cos² k = 1:
2 + 2(Sen t) (Sen k) + 2(Cos t) (Cos k) = 1
2[(Sen t)(Sen k) + (Cos t)(Cos k)] = -1

Das propriedades trigonométricas, (Sen t)(Sen k) + (Cos t)(Cos k) = Cos(k - t)

Cos(k - t) = -1/2

Assim, k-t = 120° ou k-t = 240°

Porém, quando tratamos de vetores no plano, o ângulo entre eles sempre estará no intervalo [0, π] pois sempre toma-se o menor ângulo entre eles.

Assim, como os ângulos são 120° ou 240°, temos que, se for 120°, este é o menor ângulo entre os vetores e se for 240°, 120° é o menor ângulo entre eles.

Desta forma, a) está resolvida.

b)
De <u, w> = <v, w> temos que:
<u,w> - <v,w> = 0
<u-v,w> = 0

Como u é diferente de v, u-v é diferente de zero, logo w é ortogonal a u-v, ainda:

<(u+v) , (u-v)> = <u, (u-v)> + <v, (u-v)> = <u,u> - <u,v> + <v,u> - <v,v> = 0, pois <u,u> = <v,v> = 1 e <u,v> = <v,u>.

Assim, (u+v) é ortogonal a (u-v), assim como w. Por estarem no plano, podemos concluir que (u+v) tem a mesma direção de w. Logo, existe uma constante 'C' tal que:

w = C*(v + u).

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