Exercício Resolvido - Área de triângulo usando integral

Dado o triângulo formado pelos pontos (0,5) , (2,-2) e (5,1), calcule sua área, utilizando integral.

Solução:

Para realizar este tipo de cálculo é muito interessante desenhar o triângulo e encontrar as equações das retas que formam os lados:

A reta vermelha é descrita pela equação:
x - y = 4
A reta verde é descrita pela equação:
2y + 7x = 10
A reta azul é descrita pela equação:
5y + 4x = 25.

Seria interessante para facilitar esta conta fazer uma substituição de variáveis:
u = x - y
v = 2y + 7x
Com isso:
x = u + y
    x = (v - 2y)/7

u + y = (v - 2y)/7
7u + 7y = v - 2y
9y = v - 7u
x = u + (v - 7u)/9
x = u + v/9 - 7u/9
9x = (2u + v)


Assim, as retas ficam:
u = 4
v = 10
5*(v - 7u)/9 + 4*(2u + v)/9 = 25
5v/9 - 35u/9 + 8u/9 + 4v/9 = 25
v - 3u = 25


O jacobiano desta transformação é dado por:
u = x - y
v = 7x + 2y

Agora é como se os eixos fossem alterados. Agora nossos eixos básicos são u e v. Porém há uma distorção nesta mudança, que é corrigida pelo inverso do jacobiano.
Com esta alteração é como se tivéssemos:

Desta forma, é muito mais simples definirmos os limites da integral dupla:
-5 < u < 4
10 < v < 3u + 25
Porém, parte do triângulo esta com x < 0. Para tornar exata esta área, devemos deslocar o triângulo para a direita, tornando-o totalmente positivo. Esta mudança não altera em nada o jacobiano, apenas os limites de integração.

Onde a mudança agora é: w = u+5.
Assim:
0 < w < 9
10 < v < 3w +10

Sendo assim: