Utilizando os teoremas e métodos numéricos, encontrar intervalos onde estão as raízes do polinômio:
p(x) = 2x³ - 3x² + 4x - 2
Solução:
Regra de Descartes:
O número de raízes reais positivas de um polinômio p(x) com coeficientes reais nunca é maior que o número de trocas de sinal na sequência de seus coeficientes não nulos. Se for menor, será sempre menor de um número par.
Trocas de sinal:
2 -3 4 -2 -> três trocas de sinal. Ou seja, existem 3 raízes reais positivas ou 1.
Para estimar o número de raízes reais negativas, utilizamos o polinômio p(-x), já que as raízes positivas de p(-x) são as negativas de p(x)
p(-x) = -2x³ - 3x² - 4x - 2
Nenhuma troca de sinal. Ou seja, não há raízes reais negativas no polínômio.
Regra de Huat:
Se p(0) ≠ 0 e para algum k, 0<k<n, tivermos (ak)² ≤ (ak-1).(ak+1), então p(x) terá raízes complexas.
Neste caso:
p(0) = -2 ≠ 0
a0 = 2
a1 = -3
a2 = 4
a3 = -2
(-3)² = 9 > 2*4
(4²) = 16 > 6
Nada podemos dizer ao utilizar esta regra.
Localização das raízes reais:
Cota de Laguerre-Thibault:
Dado o polinômio p(x) de coeficientes reais, calcule a divisão de p(x) por x-1, x-2, x-3, ..., x-m, até que o quociente q(x) tenha todos os coeficientes positivos ou nulos, e resto R > 0. Esse m > 0 é uma cota superior das raízes reais de p(x). Uma cota inferior n < 0 pode ser calculada de modo semelhante, multiplicando-se p(-x) por -1 e seguindo o mesmo procedimento
Dividindo p(x) = 2x³ - 3x² + 4x - 2 por (x-1) temos:
(x-1)*(2x² - x + 3) + 1 = 2x³ - 3x² + 4x - 2 (-x, temos um coeficiente negativo)
(x-2)*(2x² +x + 6) + 10 = 2x³ - 3x² + 4x - 2 (todos coeficientes positivos, até mesmo o resto)
Logo, 2 é um cota superior das raízes reais.
Como a (s) raíz (es) real (is) é (são) positiva(s), temos que ela(s) está (ão) entre 0 e 2.
Teorema de Budan:
Seja p(k)(c) o valor da k-ésima derivada do polinômio p(x) calculada para x = c. Seja Vc o número de variações de sinal na sequência p(c), p’(c), p’’(c), ..., p(n)(c), onde n é o grau de p(x). Então, o número de raízes de p(x) no intervalo (a,b) é igual ou menor que |Va - Vb|. Se for menor, será por um número par.
p(x) = 2x³ - 3x² + 4x - 2
p'(x) = 6x² - 6x + 4
p''(x) = 12x - 6
p'''(x) = 12
Para x = 0 Para x = 1
p(x) = -2 p(x) = 1
p'(x) = 4 p'(x) = 4
p''(x) = -6 p''(x) = 6
p'''(x) = 12 p'''(x) = 12
V0 = 3, pois são 3 as variações de sinal. V1 = 0, pois não há variações de sinal
Para x = 2 teremos V2 = 0 também
Assim, a(s) raiz(es) está(ão) no intervalo (0,1)
Podemos dividir este intervalo no meio, ou seja, pegar para x = 1/2
p(x) = -0,5
p'(x) = 2,5
p''(x) = 0
p'''(x) = 12
o Teorema não fala nada sobre o zero. Mas em p''(x) = 12x - 6, podemos perceber que fazendo o limite para x tendendo a 1/2 pela esquerda, p''(x) < 0, caso contrário, p''(x)>0. Com isso sabemos que no intervalo [0, 0,5) não existem raízes, pois são 3 as variações de sinal. Logo a(s) raiz(es) está(ão) no intervalo [0,5 , 1].
E neste intervalo tem apenas uma raiz real, pois como vimos, para x imediatamente maior que 1/2, temos apenas 1 variação de sinal, e em x = 1 não temos nenhuma. Logo, há apenas 1 raiz. As outras duas são complexas.
Esta subdivisão do conjunto pode continuar até se chegar a um valor tão próximo da raiz quanto se queira. Mas seria interessante fazer um programa pra isso, pois pode dar muito trabalho.
Gráfico do polinômio:
A raiz exata é 0,694146.
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