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Exercício resolvido - Trigonometria

Um observador colocado a 25 metros de um edifício vê-o sobre um determinado ângulo. Afastando-se em linha reta mais 50 metros, nota que o ângulo de visualização é metade do anterior. Qual é a altura do edifício?

Solução:

Como pode ser observado na figura, temos que a tangente do ângulo α é dado por:
Tan(α) = h/25

Para o ângulo β, dado o mesmo raciocínio, temos:
Tan(β) = h/50

Mas, do exercício, β é metade de α:
β = α/2, ou seja:
Tan(α/2) = h/50

Tan(α/2) = [ 1 - Cos(α) ] / Sen(α)
Tan(α/2) =  1/Sen(α) - Cos(α)/Sen(α) = Cossec(α) - Cot(α)

Mas:
Cot(α) = 25/h

O valor da hipotenusa do triângulo com ângulo α é:
Assim:
Cossec(α) = √(h² + 25²) / h

Logo:
Tan(α/2) = Cossec(α) - Cot(α) = √(h² + 25²) / h - 25/h
Mas
Tan(α/2) = h/50

h/50 = √(h² + 25²) / h - 25/h
h²/50 = √(h² + 25²) - 25
h² + 25*50 = 50*√(h² + 25²)
Elevando os dois lados ao quadrado:
h + 2500*h² + (25*50)² = 50²*(h² + 25²)

Para resolver a equação acima, basta substituir h² = y, ficando com uma equação do 2º grau em y:
y² + 2500y + (25*50)² - 50²*25² - 50²y = 0
y² = 0
y = 0

Logo:
h² = y = 0.

A única solução para esse exercício é a de o edifício ter altura zero, ou seja, não existir.

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