Exercício Resolvido - Força e momento resultante. Equilíbrio estático


Uma barra (20 m) de massa 200 kg é apoiada nas suas extremidades por suportes A e B. Uma pessoa começa a andar pela barra. Sabendo que a pessoa possui massa de 55 kg, determine as forças nos suportes A e B para manter a barra em equilíbrio nas seguintes situações:

(a) a pessoa está na extremidade A;
(b) a pessoa está na extremidade B;
(c) a pessoa está no centro da barra;
(d) a pessoa está a 5 m de uma das extremidades.

Solução:

a)
Força e momento resultante
Perceba que neste caso, a pessoas por estar no ponto A, a reação da barra é toda no ponto A, ou seja, devido à pessoa, não há aumento de reação no ponto B.
Devido à barra, por ser supostamente homogênea (estou supondo pois o exercício não fala nada), a reação em cada ponto é igual a 100 Kg, pois ambos estão equidistantes ao centro da barra.
Neste primeiro caso então:
Reação em A: 100 + 55 = 155Kg
Reação em B: 100Kg

Verificando se o momento resultante da barre é nulo:
Momento em relação ao ponto B (poderia ser em relação ao ponto A, ou ao centro, tem que dar zero em relação a qualquer um dos pontos da barra):

55*20 (momento devido à pessoa) - 155*20 (momento devido à reação da barra no ponto A) + 200*10 (momento devido à massa da barra) = 1100 - 3100 + 2000 = 0

b)Não vou colocar o desenho neste caso pois a situação é exatamente a mesma, com a diferença que agora a reação em B passa a ser 155 Kg, e em A permanece sendo 100 Kg.

c)

Vamos agora fazer a análise para descobrir as forças:
Somatório da força resultante deve ser zero:
FA + FB - 200 - 55 = 0
Somatório dos momentos em relação a qualquer ponto deve ser zero (vou fazer em relação a B de novo):
FA*20 - 200*10 - 55*10 = 0
FA*20 = 2000 + 550
F= 127,5 Kg
Como:
FA + FB - 200 - 55 = 0
127,5 + F= 255
F= 127,5 Kg
São iguais, como era de se esperar, já que todos os pesos estão concentrados no meio da barra.

d)
Da mesma forma que foi feito o anterior, devemos ter:
Força resultante igual a zero:
FA + FB - 55 - 200 = 0
FA + FB = 255

Veja também:
Exercício resolvido - IME CG 2009/2010 - Estática

Momento resultante igual a zero (para mudar, vou fazer o momento em elação a A)
55*5 + 200*10 - FB*20 = 0
275 + 2000  = FB*20
FB*20 = 2275
F= 113,75 Kg
Como:
FA + FB = 255
FA +  113,75  = 255
FA = 141,25 Kg


Exercício Resolvido - Soma dos números positivos múltiplos de 9 menores que 100

Calcule a soma dos números positivos múltiplos de 9 menores que 100.

Solução:


Sabemos que o primeiro termo (a1) é 9 e que esta é a razão também, pois queremos os números múltiplos de 9, ou seja:
9, 18, 27, ...

Como eles devem ser menor que 100, devemos achar o maior número múltiplo de 9 menor que 100, e este número é o 99



Assim, a PA terá 11 termos, pois:

an = a1 + (n-1)*r
99 = 9 + (n-1)*9
90 = 9*(n-1)
n-1 = 10

n = 11


Da fórmula da soma da PA:



S = (a1 + an)*(n/2) 

Assim:
S = (9 + 99)*(11/2) = (108)*(11/2) = 54*11 = 594

Exercícios relacionados:


Dedução da fórmula de juros composto para parcelas iguais

Dedução passo-a-passo da fórmula de juros composto para dívidas que são pagas em parcelas iguais

Vou fazer um post hoje que é muito útil. Será mostrado aqui como encontrar a fórmula para calcular a taxa de juros de uma dívida que é parcelada e paga em parcelas únicas.

Solução:
Inicialmente, deve-se ter em mente que esse tipo de dívida funciona de seguinte forma:
Imagine alguém que deve R\$ 100,00 a você e vai lhe pagar uma taxa de 10% de juros ao mês. Assim, após 1 mês, ele lhe deve:

R\$ 100,00 + 10%*(R\$ 100,00) = R\$ 100,00 + 0,1*R\$ 100,00 = 1,1*R\$ 100,00 = R\$ 110,00

Agora, digamos que após esse mesmo mês, ele lhe pagou R\$ 15,00. Então agora ele lhe deve:

R\$ 110,00 - R\$ 15,00 = R\$ 95,00

Ou seja, da dívida real reduziu-se R\$ 5,00 apenas.

Passando-se outro mês, a dívida passa a ser:

R\$ 95,00 + 10%*(R\$ 95,00) = R\$ 95,00 + 0,1*R\$ 95,00 = 1,1*R\$ 95,00 = R\$ 104,50

E assim segue.

Da mesma forma funciona qualquer dívida.
Para realizar os cálculos e fazer a demonstração, vou utilizar as seguintes letras:

Taxa de juros mensal em porcentagem = J
Valor da parcela paga a cada mês = P
Valor inicial da dívida = V
Número de parcelas = n

O empréstimo é feito no mês 'zero'.
Assim, após o primeiro mês deve-se o valor da dívida mais o juros:



Mas neste momento, é paga a 1ª parcela, passando a ser o valor da dívida:


Para facilitar a visualização, vou chamar este valor agora de V2, então:


Após 2 meses:


Neste momento, ele novamente vai pagar a parcela, passando a ser sua dívida:


Chamando este valor de V3:


Após 3 meses:



Após isso, claro, será paga uma parcela, passando a ter o valor V4.



É possível perceber uma relação recorrente de Vn:



Onde V1 = V que é o valor inicial da dívida.

Manipulando um pouco a equação geral de recorrência acima, é possível perceber propriedades interessantes. Veja abaixo:



Substituindo:



Usando:



Teremos:



Percebam que os termos que multiplicam o fator P são termos de uma PG onde:



e a razão



Usando a fórmula da soma da PG podemos simplificar a fórmula para:



Aqui fica mais fácil perceber qual deve ser a equação de Vn em função de V, que é o valor inicial da dívida.



Porém, Vn tem que ser nulo, já que queremos que após n meses a dívida esteja totalmente paga. Portanto, basta igualar o resultado obtido acima a zero:



Manipulando temos:



Agora, esta fórmula pode ser manipulada como se desejar.
Exemplo: Caso deseja-se calcular a parcela a ser paga dado que:

Se a taxa de juros for 5%  J = 5
O empréstimo for de R$ 1.000,00 → V = 1000
O tempo para pagar de 10 meses → n = 10

Vamos calcular o valor da parcela:

Isolando P na fórmula acima:



Substituindo os valores



Como





Ou seja, nestas condições, R\$ 129,50 deve ser a parcela. Este não é o valor exato, que é dado por R\$ 129,5046, porém, por ser um valor monetário, só pode ter duas casas após a vírgula. Vaja como ficaria:

Dívida Mês Parcela Após pagar parcela
R\$ 1.000,00 0 R\$ 0,00 R\$ 1.000,00
R\$ 1.050,00 1 R\$ 129,50 R\$ 920,50
R$ 966,53 2 R$ 129,50 R$ 837,03
R$ 878,88 3 R$ 129,50 R$ 749,38
R$ 786,85 4 R$ 129,50 R$ 657,35
R$ 690,21 5 R$ 129,50 R$ 560,71
R$ 588,75 6 R$ 129,50 R$ 459,25
R$ 482,21 7 R$ 129,50 R$ 352,71
R$ 370,35 8 R$ 129,50 R$ 240,85
R$ 252,89 9 R$ 129,50 R$ 123,39
R$ 129,56 10 R$ 129,50 R$ 0,06




Perceba que o valor da dívida, após os 10 meses, fica em R\$ 0,06. Ele não zera devido ao resultado não ser exato, já que a parcela deveria ser R\$ 129,504574965...


Limite (de x -> -infinito) de [Raiz(5x² - 2) / (x+3)]

Este exercício tem uma 'pegadinha', que eu mesmo caí.
Nosso leitor que comentou abaixo deste post me orientou do erro, estarei portanto corrigindo com base na solução postada por ele no comentário.

Solução:
Ao observar o exercício, percebemos que para qualquer valor de x < -3, (5x² - 2) / (x+3) é negativo, logo, para x tendendo a menos infinito, o valor tem que ser negativo. Assim, a solução fica:



Exercício Resolvido - Somatório de N² = 1² + 2² + 3² + ... + n² ou ∑(n^2) = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2

Ache uma equação para calcular o somatório de N² = 1² + 2² + 3² + ... + n², sendo n um número inteiro.

Solução:

O cálculo de ∑n² pode ser feito de várias formas. Tentarei demonstrar algumas:

1º método:

Sabendo que:

(n+1)³ - n³ = (n³ + 3n² + 3n + 1) - n³ = 3n² + 3n + 1

Assim:

∑[(p+1)³ - p³] = ∑[3p² + 3p + 1]

Mas:

∑[(p+1)³ - p³] = (2³ - 1³) + (3³ - 2³) + ... + [(n+1)³ - n³]

Perceba que o primeiro termo de cada parênteses é cancelado com o segundo do parênteses seguinte, sobrando apenas:

(n+1)³ - 1³

Então:

(n+1)³ - 1 = ∑[3p² + 3p + 1]

Mas:

∑[3p² + 3p + 1] = ∑3p² + ∑3p + ∑1 = 3*∑p² + 3*∑p + (1+1+1+1+1+...+1)

∑p = 1 + 2 + 3 + 4 + .. + n  -> (PA)

∑p = (1+n)*(n/2)

Temos também que:

∑1 = n

Assim:

(n+1)³ - 1 = ∑[3p² + 3p + 1]

(n+1)³ - 1 = 3*∑p² + 3*(1+n)*(n/2) + n


n³ + 3n² + 3n = 3*∑p² + 3n/2 + 3n²/2 + n

3*∑p² = n³ + 3n²/2 + n/2

∑p² = (1/6)*[2n³ + 3n² + n] = (1/6)*n*(n+1)*(2n+1)


2º método:
Usando o triângulo de Pascal:

Triangulo de Pascal
Imagem retirada do livro Algorithmic Information heory, de G. Chaitin

Como o que queremos é o somatório:

1 + 4 + 9 + 16 + ... + n²

Se observarmos no triângulo acima a terceira coluna, o primeiro termo dela (1), é 1², se somarmos o primeiro ao segundo, temos 1+3 = 4, se somarmos o segundo ao terceiro, temos 3+6 = 9, o terceiro ao quarto 6+10 = 16 ....

Ou seja, a soma dois a dois dos termos da coluna, formam exatamente os termos da sequência que queremos:

Assim:


Ou, agrupado de forma melhor:


Mas, pelo teorema das colunas, que diz que:


Temos:


e


Tendo, por fim:

1² + 2² + 3² + 4² + ... + n² = (1/6)*n*(n+1)*(n-1 + n+2) = (1/6)*n*(n+1)*(2n+1)


3º método:

Digamos que a gente já conheça o resultado, mas desejamos provar que ele vale pelo método da indução finita :

Se n = 1:

1² = (1/6)*1*(1+1)*(2+1) = 1 Ok, é válido

Agora, a gente supõe que para n = k-1, a fórmula também é válida, admitimos então que:

1² + 2² + 3² + ... + (k-1)² = (1/6)*(k-1)*[(k-1)+1]*[2(k-1)+1] = (1/6)*(k-1)*k*(2k-1)

Supondo que a fórmula acima seja correta, devemos provar que vale para n = k também:

1² + 2² + 3² + 4² + ... + (k-1)² + k² = [(1/6)*(k-1)*k*(2k-1)] + k²

1² + 2² + 3² + 4² + ... + (k-1)² + k² = [(1/6)*(k²-k)*(2k-1)] + k²

1² + 2² + 3² + 4² + ... + (k-1)² + k² = [(1/6)*(2k³ - k² - 2k² + k)] + k²

Fazendo o mínimo múltiplo comum, ou seja, transformando k² = (6/6)*k² temos:

1² + 2² + 3² + 4² + ... + (k-1)² + k² = (1/6)*(2k³ - 3k² + k + 6k²) =

1² + 2² + 3² + 4² + ... + (k-1)² + k² = (1/6)*(2k³ + 3k² + k)

1² + 2² + 3² + 4² + ... + (k-1)² + k² = (1/6)*k*(k+1)*(2k+1)

que é a fórmula (1/6)*n*(n+1)*(2n+1) para n = k. Logo, esta provado por indução.


Exercício Resolvido - Velocidade média

Um percurso de 310 km deve ser feito por um ônibus em 5 h. O primeiro trecho de 100 km é percorrido com velocidade média de 50 km/h e o segundo trecho de 90 km, com velocidade média de 60 km/h. Que velocidade média deve ter o ônibus no trecho restante para que a viagem se efetue no tempo previsto?

Solução:
No primeiro trecho, ele percorreu 100 km com velocidade de 50 km/h, o tempo gasto foi de 100/50 = 2 h
No segundo trecho, ele percorreu 90 km com velocidade de 60 km/h, o tempo gasto foi de 90/60 = 1,5 h
Como ele já gastou 3,5 h = 3 h 30 min e ele tem que levar 5 h, ele ainda tem 1 h 30 min.
Dos 310 km ele percorreu 190 km, logo, ele tem ainda 310-190 = 120 km para percorrer.

Então, ele tem que percorrer 120 km em 1,5 h (1 h 30 min = 1,5 h)
Logo, a velocidade dele deve ser:

120/1,5 = 80 km/h


Exercício Resolvido - Velocidade média

Quatro cidades A, B, C e D estão dispostas tal que as distâncias rodoviárias entre A e B, B e C e C e D são, respectivamente, AB = 60 km, BC = 100 km e CD = 90 km. Se um automóvel vai de A até B a uma velocidade de 60 km/h, da cidade B até a C a uma velocidade média de 50 km/h e da C até a D a uma velocidade média de 45 km/h, determine a velocidade média desse automóvel em km/h, para o percurso de A até D.

Solução:
Distância percorrida: 60 + 100 + 90 = 250 km
Tempo:
Se ele percorre 60 km a uma velocidade de 60 km/h, o tempo será de 1 h
Se ele percorre 100 km a 50 km/h, o tempo será de 100/50 = 2 h
Se ele percorre 90 km a 45 km/h, o tempo será de 90/45 = 2 h

O tempo total:
1+2+2 = 5h

Velocidade média: 250/5 = 50 km/h


Exercício Resolvido - Velocidade média

Você num automóvel faz um determinado percurso em 2 h, desenvolvendo uma velocidade média de 75 km/h. Se fizesse o mesmo percurso a uma velocidade média de 100 km/h, quanto tempo gastaria?

Solução:
Se a velocidade média é de 75 km/h e o tempo 2 h, a distância percorrida é de: 75*2 = 150 km

Agora, o dado que temos é da velocidade e da distância:
Velocidade = 100 km/h
Distância = 150 km

Regra de três:
Se ele percorre 100 km em 1 h (velocidade)
então percorrerá 150 km em x h (x pois é o valor que queremos encontrar)

Como em toda regra de três, devemos multiplicar 'cruzado', ou seja:
O 100 km multiplica x h e o 150 km multiplica o 1 h
Assim:
100x = 150*1
x = 1,5 h = 1 h 30 min

Logo, se a velocidade fosse 100 km/h, o tempo seria de 1 h 30 min


Exercício Resolvido - Quantas voltas o carro chegou a frente?

Numa corrida de carros, suponha que o vencedor gastou 1 h e 30 min para completar o circuito, desenvolvendo uma velocidade média de 240 km/h, enquanto um outro carro, o segundo colocado, desenvolveu a velocidade média de 236 km/h. Se a pista tem 30 km, quanto, em voltas, o carro vencedor chegou à frente do segundo colocado?

Solução:
1º colocado - Se ele gastou 1h 30min = 1,5h, com velocidade média de 240Km/h. Assim, 240*1,5 = 360Km
2º colocado - Tempo de 1h 30h = 1,5h, com velocidade 236Km/h. Assim, 236*1,5 = 354Km.

O primeiro colocado desenvolveu 6 Km a mais que o 2º.
Isso, em voltas, seria 6/30 = 0,2 voltas.


Exercício Resolvido - Velocidade média

Um carro viaja de São Paulo a Campinas, que dista 90 km, parando durante 30 min num posto à beira da estrada, para refeição e abastecimento. De São Paulo até o posto gasta 1 h 30 min, fazendo o percurso do posto a Campinas em mais 30 min. Calcule a velocidade média do carro na viagem em questão.

Solução:
Breve comentário:
Para solucionar questões de velocidade média, o melhor a fazer é calcular a distância percorrida e o tempo.
Assim, no fim, basta dividir um pelo outro.

Vamos ao exercício:
A distância percorrida é 90 km
O tempo é: 1 h 30 min + 30 min + 30 min = 2 h 30 min

Como 2 h 30 min = 2,5 h
Velocidade média será: 90/2,5 = 36 km/h


Exercício Resolvido - Integral de √(4 /x⁴-x²)

Calcule a integral de ∫ √(4 /x⁴-x²) dx.

Solução:
Trabalhando o integrando:
√(4 /x⁴-x²) = 2/[x*√(x²-1)]
∫ √(4 /x⁴-x²) dx =  ∫ 2/[x*√(x²-1)] dx = 2 ∫ 1/[x*√(x²-1)]

Agora, perceba que x²-1 tem que ser > 0, pois esta dentro de uma raiz e é denominador. Disso nós tiramos que x < -1 e x > 1. Logo, x não pode assumir valores no intervalo [-1,1].
Da trigonometria, sabemos que Sen(t) e Cos(t) sempre possuem valores nesse intervalo, e que Sec(t) e Cossec(t) tem apenas os valores que queremos. Logo, podemos substituir x por Sec(t) ou por Cossec(t).

Vou fazer a substituição:
x = Sec(t)
Logo:
dx = Tan(t)*Sec(t)*dt
Assim, a integral fica:
2 ∫ 1/[x*√(x²-1)] dx = 2*∫ 1/[Sec(t)*√(Sec²(t)-1)] Tan(t)Sec(t)dt
Mas Sec²(t) = 1 + Tan²(t)
Logo, Sec²(t) - 1 = Tan²(t), e √Tan²(t) = Tan(t)

Ficando:
2*∫ 1/[Sec(t)*Tan(t)] Tan(t)*Sec(t)*dt.
Como o numerador é igual ao denominador:
2*∫ 1/[Sec(t)*Tan(t)] Tan(t)*Sec(t)*dt. = 2*∫dt = 2*t

Voltando à substituição, temos que:
Sec(t) = 1/Cos(t) = x
Cos(t) = 1/x
t = ArcCos(1/x)

Logo:
 ∫ √(4 /x⁴-x²) dx = 2*ArcCos(1/x)


Progressão Geométrica (PG)

Dedução das fórmulas de uma PG e explicação


Dando continuidade às aulas, nada mais coerente do que, após uma aula de PA, a aula de PG.

Assim como a PA, a PG é uma sequência definida por um termo inicial, geralmente chamado de a e uma razão, geralmente chamada de q.
Diferentemente da PA, na PG os termos da sequência são obtidos pelo produto do termo anterior pela razão, ou seja:
a = a*q
a = a*q = (a*q)*q = a*q²
a = a*q = (a*q²)*q = a*q³
...
an = a(n-1)*q = a₁*q⁻¹
Uma propriedade importante de observarmos é que o produto dos termos equidistantes ao termo central de um PG é sempre igual. Sendo mais claro:
Produto do primeiro termo com o último termo:
a₁*an = a₁*(a₁*q⁻¹⁾) = a₁²*q⁻¹

Produto do segundo termo com o penúltimo termo
a*an-1 = (a*q)*(a₁*q⁻²⁾) = a₁²*q⁻¹

Produto de terceiro termo com o antepenúltimo termo
a*an-2 = (a*q²)*(a₁*q⁻³⁾) = a₁²*q⁻¹
...
Desta forma, fica fácil definir qual é o produto de todos os termos de uma PG. Veja só:
Produto = a₁*a₂*a₃*...*an. Como na multiplicação, a ordem dos fatores não altera o produto, podemos escrever esse produtório como:
Produto = (a₁*an)*(a₂*an-1)*(a₃*an-2)*... Como o valor dos produtos dentro dos parênteses é o mesmo (a₁²*q⁻¹⁾), como foi visto acima, e como esta sequência tem n termos, teremos (n/2) parênteses, já que cada parênteses tem dois termos. Assim:
Produto = [(a₁²*q⁻¹⁾)]ⁿ = [a₁*q⁻¹⁾].

Outro dado importante de se calcular, é a soma dos termos da PG. Existem várias formas de encontrar a fórmula da soma da PG (já foi feito neste blog por indução finita e soma telescópica), porém por ser de mais fácil compreensão, vou utilizar o método da soma telescópica (para quem não sabe o que é isso, vou explicar na medida que deduzo a fórmula)

O que queremos saber é a soma dos termos de uma PG, ou seja:
S = a₁ + a + a + ... + an
(1)     S = a₁ + a₁*q + a₁*q² + ... + a₁*q⁻¹⁾. Se multiplicarmos esse somatório por q, teremos:
(2) q*S = a₁*q + a₁*q² + a₁*q³ + ... + a₁*q

Agora vamos subtrair as equações (2) de (1), fazendo (2) - (1), assim teremos:
q*S - S = (a₁*q + a₁*q² + a₁*q³ + ... + a₁*qⁿ) - (a₁ + a₁*q + a₁*q² + ... + a₁*q⁻¹⁾)
Perceba que podemos anular vários termos que são iguais (este método é chamado de soma telescópica, onde você cancela vários termos iguais pela subtração por serem termos iguais).
Desta forma, todos os termos serão cancelado com exceção de (a₁*qⁿ) e a₁.
Assim:
q*S - S = (a₁*qⁿ) - (a₁). Isolando os termos comuns dos dois lados:
S*(q-1) = a₁*(qⁿ - 1), logo:
S = [a₁*(qⁿ - 1)] / [q-1], onde S é a soma dos termos.

Para uma PG decrescente infinita a fórmula é a mesma só que, para que a PG seja decrescente, q deve ser menor que 1 e maior que zero. Assim, como ela tende a ter infinitos termos, ou seja, n tende ao infinito, qⁿ vai tender a zero (faça o teste, pegue um valor qualquer, entre zero e 1 e eleve a potências grandes. Perceberá que quanto maior é este potência, mais o resultado se aproxima de zero. No infinito, será zero).

Assim, na PG infinita:
S = [a₁*(qⁿ - 1)] / [q-1], como qⁿ = 0
S = [a₁*(- 1)] / [q-1].
S = [-a] / [q-1]. Multiplicando o numerador e o denominador por (-1), o que não muda em nada a fração, temos:
S = a / [1-q]

Abaixo, alguns exercícios e explicações que foram usados os conceitos citados acima:


Exercício Resolvido - Divisão de somatórios.

Dada a tabela abaixo:
Calcule:
Solução:
Neste somatório, fi é o mesmo que Yi.
Para poder resolvê-lo, devemos calcular os dois somatórios individualmente, assim, o somatório do numerador será:
Y1X1 + Y2X2 + Y3X3 + Y4X4 + Y5X5 + Y6X6 =
= 3*10 + 5*11 + 9*15 + 10*19 + 2*21 + 1*26 = 478
O denominador fica:
Y1 + Y2 + Y3 + Y4 + Y5 + Y6 = 3 + 5 + 9 + 10 + 2 + 1 = 30

A resposta é: 478/30 = 15,9333...


Exercício Resolvido - Interpolação por polinômios

Encontre o polinômio de menor grau que interpola os pontos (-1,7), (0,3), (1, 3) e (2, 1)

Solução:
Como existem 4 pontos a serem interpolados, o polinômio de menor grau é o que possui grau 3.
p(x) = ax³ + bx² + cx + d

Agora nos resta substituir os pontos e calcular a, b, c, d.
p(-1) = -a + b - c + d = 7
p(0) = d = 3
p(1) = a + b + c + d = 3
p(2) = 8a + 4b + 2c + d = 1

De p(0) = d = 3 sabemos que d = 3.
Assim, de p(-1) temos:
-a + b - c = 4
a + b + c = 0
8a + 4b + 2c = -2

Somando -a + b - c = 4 com a + b + c = 0 temos:
2b = 4
b = 2


Substituindo:
a + 2 + c = 0  → a + c = -2 → a = -2 - c
8a + 4b + 2c = -2  → 8a + 4*2 + 2c = -2 → 8a + 2c = -10

Substituindo a = -2 - c nesta última equação temos:
8*(-2 -c) + 2c = -10
-16 - 8c + 2c = -10
-6c = 6
c = -1
Logo, a = -2 -(-1) = -1

Assim, o polinômio é:
p(x) = -x³ + 2x² - x + 3





Exercício Resolvido - Cálculo da derivada por método numérico

Dado os valores de x e f(x) abaixo:
x:     00 02 04 06 08 10 12
f(x): 10 18 24 21 20 18 15

Estime:
a) f ' (2)
b) f ' (x) parece ser positivo para que valores de x? E negativo?

Solução:
Existem vários métodos para este tipo de aproximação. Vou utilizar aqui o mais intuitivo, sem utilizar conceitos de cálculo numérico.

a) Da definição de derivada temos que:


Porém neste caso não temos os valores para todo x. Logo, podemos fazer uma aproximação da derivada de f(x) no ponto 2 pelos pontos vizinhos a este, ou seja, x = 0 e x = 4, da seguinte forma;

f ' (2) ≅ [f(0) - f(2)] / (0 - 2) = (10 - 18) / (-2) = 4
f ' (2) ≅ [f(4) - f(2)] / (4 - 2) = (24 - 18) / 2 = 3
Ou ainda
f ' (2) ≅ [f(4) - f(0)] / (4 - 0) = (24 - 10) / 4 = 3,5
Destes três resultados, é possível mostrar que o último apresenta um erro menor. Observando mais atentamente, nota-se que o último resultado nada mais é do que a média dos dois primeiros.

b) Não tem outra forma, tem que fazer um por um.
- No ponto x = 0:
f ' (0) ≅ [f(2) - f(0)] / (2 - 0) = 8/2 = 4
Neste ponto, não temos como fazer três análises, já que não conhecemos o valor de f(x) para x < 0.

- No ponto x = 2 (já foi feito)

- No ponto x = 4
f ' (4) ≅ [f(2) - f(4)] / (2-4) = -6/-2 = 3
f ' (4) ≅ [f(6) - f(4)] / (6-4) = -3/2 = -1,5
Neste ponto ocorre um fenômeno interessante. Ao fazer a estimativa de um lado, temos que a derivada é positiva, de outro lado, negativa. Isso mostra que, se a função for contínua, existe um ponto crítico no intervalo (2, 6), ainda, este ponto é um ponto de máximo já que a derivada aproximando pela esquerda é positiva (função crescente) e pela direita, negativa (decrescente).
f ' (4) ≅ [f(6) - f(2)] / (6-2) = 3/4 = 0,75

- No ponto x = 6
f ' (6) ≅ [f(4) - f(6)] / (4-6) = 3/-2 = -1,5
f ' (6) ≅ [f(8) - f(6)] / (8-6) = -1/2 = -0,5
f ' (6) ≅ [f(8) - f(4)] / (8-4) = -4/4 = -1

- No ponto x = 8
f ' (8) ≅ [f(6) - f(8)] / (6-8) = 1/-2 = -0,5
f ' (8) ≅ [f(10) - f(8)] / (10-8) = -2/2 = -1
f ' (8) ≅ [f(10) - f(6)] / (10-6) = -3/4 = -0,75

- No ponto x = 10
f ' (10) ≅ [f(8) - f(10)] / (8-10) = 2/-2 = -1
f ' (10) ≅ [f(12) - f(10)] / (12-10) = -3/2 = -1,5
f ' (10) ≅ [f(12) - f(8)] / (12-8) = -5/4 = -1,25

- No ponto x = 12
f ' (12) ≅ [f(10) - f(12)] / (10-12) = 3/-2 = -1,5

Com base nestes dados, podemos dizer que f ' (x) parece ser positivo para:
x = 0, x = 2 e x = 4
Parece ser negativo para:
x = 6, x = 8, x = 10 e x = 12


Exercício Resolvido - Prova Petrobrás Tec Inspeção Equipamentos 01/2011 questão 55 - Física


A figura ilustra uma placa de vidro com faces paralelas. A espessura da placa vale 4,0 mm, e as tais faces têm 1.000 cm² de área.
Sabendo-se que há uma diferença de temperatura de 50 °C entre as faces da placa, qual o fluxo de calor por condução através do vidro em calorias por segundo?
Dado: coeficiente de condutibilidade térmica da placa = 0,002 cal/(cm*s*°C)

Solução:
Primeiro, definimos o que é fluxo de calor por condução conforme o site:
http://www.if.ufrj.br/teaching/fis2/calor/conducao.html

"O fluxo de calor por condução ocorre via as colisões entre átomos e moléculas de uma substância e a  subsequente transferência de energia cinética."
"A condutividade térmica k é definida através da equação Q/t = - k*A*T/x"

Onde, nessa equação, ∆Q/∆t é o fluxo de calor por condução, k é o coeficiente de condutibilidade térmica da placa, A é a área da placa e ∆T/∆x é a diferença de temperatura por unidade de distância. No caso deste exercícios, ∆T/∆x = 50°C/4mm = 50°C / 0,4cm = 125 °C/cm.

Veja outros exercícios desta mesma prova:
Exercício Resolvido - Prova Petrobrás Tec Inspeção Equipamentos 01/2011 questão 35 - Física
Exercício Resolvido - Prova Petrobrás Tec Inspeção Equipamentos 01/2011 questão 36 - Física
Exercício Resolvido - Prova Petrobrás Tec Inspeção Equipamentos 01/2011 questão 37 - Física
Exercício Resolvido - Prova Petrobrás Tec Inspeção Equipamentos 01/2011 questão 41 - Física


Substituindo os dados na equação:
Q/t- 0,002 [cal/(cm*s*°C)] *1.000[(cm²)]*125[(°C/cm)] = -250 cal/s.

O sinal negativo é pelo fato de que a face superior estar perdendo calor para a inferior. Mas a resposta a esta questão é 250 cal/s.

Fonte: http://www.if.ufrj.br/teaching/fis2/calor/conducao.html


Exercício Resolvido - Prova Petrobrás Tec Inspeção Equipamentos 01/2011 questão 51 - Física

Massas iguais de água e de alumínio recebem exatamente a mesma quantidade de calor.
Qual a razão entre a variação de temperatura do alumínio e a variação de temperatura da água, provocada pelo fornecimento desse calor?
Dados:
calor específico da água = 1,0 cal/g.°C
calor específico do alumínio = 0,2 cal/g.°C

Solução:
Pela fórmula: Q = m.c.T temos que:
Como a quantidade de calor e de massa é igual nos dois, temos que:
c.T é igual e constante (chamarei essa constante de k).

Veja outros exercícios desta mesma prova:
Exercício Resolvido - Prova Petrobrás Tec Inspeção Equipamentos 01/2011 questão 35 - Física
Exercício Resolvido - Prova Petrobrás Tec Inspeção Equipamentos 01/2011 questão 36 - Física
Exercício Resolvido - Prova Petrobrás Tec Inspeção Equipamentos 01/2011 questão 37 - Física
Exercício Resolvido - Prova Petrobrás Tec Inspeção Equipamentos 01/2011 questão 41 - Física

Na água, c = 1 e no alumínio, c = 0,2, assim:
Na água:
1.T = k, ou seja, a variação de temperatura da água é k
No alumínio:
0,2.T = k, T = 5k. A variação de temperatura no alumínio é 5k.
A razão será 5.


Exercício Resolvido - Prova Petrobrás Tec Inspeção Equipamentos 01/2011 questão 49 - Física

Com respeito às ondas eletromagnéticas, analise as afirmações a seguir.
I  - É uma onda composta por um campo elétrico e um magnético, que se pode propagar no vácuo, portanto, sem a necessidade de um meio material para lhe dar suporte.
II  - A luz visível, o infravermelho, o ultravioleta e o Raio  X são exemplos de ondas eletromagnéticas.
III  - Quanto maior a frequência da onda, menor é a energia que ela transporta.
Está correto o que se afirma em

Solução:
I - Correta. Em engenharia estuda-se muito este tipo de onda, mas do ensino médio sabemos que a variação do campo magnético faz surgir um diferença de potencial. Na verdade o que ocorre é que a variação de um campo magnético faz surgir um campo elétrico. E, a variação de um campo elétrico, faz surgir um campo magnético. É baseado nisso que existem as ondas eletromagnéticas. Um campo elétrico que varia, aí faz surgir um campo magnético, esse por sua vez varia, e faz surgir o campo elétrico. Ou seja, um faz o outro surgir e portanto, esta onda só depende disso. Como nem o campo magnético nem o elétrico precisam de um meio para existir, a onda eletromagnética também não precisa.

Veja outros exercícios desta mesma prova:
Exercício Resolvido - Prova Petrobrás Tec Inspeção Equipamentos 01/2011 questão 35 - Física
Exercício Resolvido - Prova Petrobrás Tec Inspeção Equipamentos 01/2011 questão 36 - Física
Exercício Resolvido - Prova Petrobrás Tec Inspeção Equipamentos 01/2011 questão 41 - Física

II - Correta. Não tem muito o que explicar, são exemplos...

III - Incorreta. As ondas eletromagnéticas possuem energia diretamente proporcional à sua frequência onde E = h*f, sendo h a constante de Planck.