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Exercício Resolvido - Assíntotas




Determine todas as assíntotas das funções abaixo:
a) (2x - 1) / (x - 3)
b) (x² + 3) / (x + 1)

Solução:
Obs.: Assíntota é uma reta na qual uma equação tende a ela no infinito porém nunca chega a ela. Desta forma, dada uma função f(x), se y = ax + b é sua assíntota, então:
a)

Assim, para tirar o x do denominador, temos:


simplificando o x e eliminando os termos constantes divididos por x, pois eles tendem a zero, temos:

Assim, percebemos que a deve ser zero, pois se não for, o limite tenderia a infinito. Ainda, se a = 0 teremos que para que o limite seja nulo:

2 - b = 0, logo, b = 2

Assim, a reta assíntota neste caso é:
y = 2.

Abaixo o gráfico da função e da assíntota y = 2, para x tendendo a infinito positivo e negativo:



b) Analogamente temos:

Assim, para que o limite seja nulo, devemos ter:
1-a = 0, logo a = 1
a + b = 0, logo b = -1

Assim, a reta assíntota neste caso é:
y = x - 1

Abaixo o gráfico da função e sua assíntota:

Perceba também que as retas x = 3 (no exercício a) e x = -1 (no exercício b) também são assíntotas já que esse valor de x é uma descontinuidade da função e a medida que x se aproxima destes valores, a função tende a infinito (infinito positivo ou infinito negativo, dependendo da direção de aproximação).

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