Exercício Resolvido - Limite

Calcule ou mostre que não existe, sem aplicar L'Hôpital e/ou aproximações polinomiais.

Solução:
Para resolver esses limites, um teorema deve ser enunciado:

Teorema 1Sejam as funções f,g: D →
Sejam as constantes a Є D’ e b1,b2 Є tais que limx→a f(x) = b1 limx→a g(x) = b2
Então:
a) limx→a (f + g)(x) = b1 + b2
b) limx→a (f*g)(x) = b1*b2
c) Se b2 ≠ 0  limx→a (f/g)(x) = b1/b2
Onde D’ são os pontos de acumulação do domínio de f e g.

a)

Fazendo uma substituição de variável u = sen(x)/cos(x) = tg(x) onde para x tendendo a zero, u também tende a zero, adotando o Teorema 1 e conhecendo o limite:
temos que:
Gráfico da função:

b) Para quem não percebeu (ou para quem não sabe ainda), esse limite é a derivada da função seno.
Percebam que no limite, x → a, ou seja, x é um pouco diferente de a, mas muito próximo de a. Assim, podemos dizer que x = a + h, sendo que no limite, h → 0.
Como a é uma constante, cos(a) e sen(a) também é constante e poderá sair de dentro do limite quando estiver multiplicando. 
Conhecendo o limx→0 sen(x)/x mencionado no exercício anterior, temos:
Mas:
Onde limh→0 sen(h)/h = 1 e limh→0 sen(h)/[cos(h)+1] = 0/2 = 0. Logo, 1*0 = 0. Portanto:
Assim, voltando ao exercício:
Gráfico da função para a = 0 em azul, a π/4 em vermelho e a = π/2 em preto:

c)Para resolver este exercício, devemos fatorar os polinômios que estão dentro da raiz:
1-x³ = (1-x)*(x² + x + 1)
x²-1 = (x-1)*(x+1)

Da divisão, o termo (x-1) pode ser simplificado, ficando:
Gráfico da função em azul e em vermelho uma reta horizontal passando pela raiz cúbica de -3/2.



Exercício resolvido - Raiz de polinômio

Considere o polinômio 5x³ – 3x² – 60x + 36 = 0. Sabendo que ele admite uma solução da forma √n, onde n é um numero natural, pode se afirmar que: 
A)1≤ n < 5 
B)6 ≤ n < 10 
C)10 ≤ n < 15 
D)15 ≤ n < 20 
E)20 ≤ n < 30

Solução:
Vou resolver esse exercício através de análise utilizando as alternativas. 
Sabe-se que, pelo Teorema do Valor Intermediário, num intervalo [a,b] do domínio de uma função contínua, f(a) < f(b), então existe f(c) tal que f(a) < f(c) < f(b) tal que c Є [a,b]. Chamando 5x³ - 3x² - 60x + 36 = f(x).

Obs.: A lógica desse teorema é a seguinte. Se uma função é contínua, então você consegue desenhar o gráfico dela sem tirar o lápis do papel, assim, se em algum momento ela é negativa e em outro ela é positiva, certamente ela passou pelo zero, e por todos os outros valores que estão entre esses dois.

Assim, para a alternativa A): 
f(√1) = 5*(√1)³ - 3*(√1)² - 60*√1 + 36 = -11
f(√5) = 5*(√5)³ - 3*(√5)² - 60*√5 + 36
f(√5) = 5*5*√5 - 3*5 - 60*√5 + 36
f(√5) = 25*√5 - 15 - 60*√5 + 36
f(√5) = 21 - 35√5 =  -57,26

Ambos os resultados são negativos o que não nos garante a existência de uma raiz no intervalo. Porém, para testarmos todas as possibilidades que as alternativas oferecem, seriam muitos testes o que nos leva a crer que devemos achar algum meio mais rápido. Um ponto importante a se perceber é que se n não é um quadrado perfeito, então os termos de coeficiente 5 e -60 devem se anular, pois como eles multiplicam x com expoente ímpar eles serão os únicos termos multiplicando uma raiz. Assim, se eles não se anularem, o resultado não será zero como desejado. Desta forma, caso n não seja um quadrado perfeito:

5*(√n)³ - 60*(√n) = 0 
5*n*(√n) – 60*(√n) = 0 
5*n*(√n) = 60*(√n) 
Dividindo tudo por 5*(√n) 
n = 12

Verificando: 
f(√12) = 5*(√12)³-3*(√12)²-60*(√12)+36 = 60*(√12) – 3*12 – 60*(√12) + 36 = 0. 
Resposta: Letra C), com n = 12.

Gráfico da função:
Dando um zoom:


Exercício Resolvido - Teorema do Valor Intermediário

Usando o Teorema do Valor Intermediário (T.V.I.), mostre que a equação abaixo possui alguma raiz negativa
7x²°¹³ − 2x +1= 0 

Solução:
Obs.: O teorema do valor intermediário diz que se uma função é contínua num intervalo [a,b] e se existe um valor k tal que:

f(a) < k < f(b)

então, existe um valor c tal que f(c) = k.

Este teorema é bastante intuitivo, basta perceber que se uma função é contínua e se ela passa por dois valores, então ela passou por todos os que estão entre eles.
Exemplo:
f(x) = x² + x + 3
f(0) = 3
f(2) = 9
Assim, para qualquer valor k entre 3 e 9 existe um c Є [0,2] tal que f(c) = k, veja:
Para k = 5, c = 1
Para k = 6, c = 1,30278 
Para k = 7,5, c = 1,679
...

Voltando ao exercício:
Temos então:
f(x) = 7x²°¹³ − 2x +1
Assim:
f(0) = 1
f(-1) = 7*(-1) + 2 + 1 = -7 + 3
f(-1) = -4
Assim, basta adotar k = 0 (que esta entre [-4,1]) e, com base no teorema do valor intermediário, garantimos que existe um c Є [-1,0] tal que:

f(c) = k = 0.



Exercício Resolvido - Assíntotas

Determine todas as assíntotas das funções abaixo:
a) (2x - 1) / (x - 3)
b) (x² + 3) / (x + 1)

Solução:
Obs.: Assíntota é uma reta na qual uma equação tende a ela no infinito porém nunca chega a ela. Desta forma, dada uma função f(x), se y = ax + b é sua assíntota, então:
a)

Assim, para tirar o x do denominador, temos:


simplificando o x e eliminando os termos constantes divididos por x, pois eles tendem a zero, temos:

Assim, percebemos que a deve ser zero, pois se não for, o limite tenderia a infinito. Ainda, se a = 0 teremos que para que o limite seja nulo:

2 - b = 0, logo, b = 2

Assim, a reta assíntota neste caso é:
y = 2.

Abaixo o gráfico da função e da assíntota y = 2, para x tendendo a infinito positivo e negativo:



b) Analogamente temos:

Assim, para que o limite seja nulo, devemos ter:
1-a = 0, logo a = 1
a + b = 0, logo b = -1

Assim, a reta assíntota neste caso é:
y = x - 1

Abaixo o gráfico da função e sua assíntota:

Perceba também que as retas x = 3 (no exercício a) e x = -1 (no exercício b) também são assíntotas já que esse valor de x é uma descontinuidade da função e a medida que x se aproxima destes valores, a função tende a infinito (infinito positivo ou infinito negativo, dependendo da direção de aproximação).


Exercício resolvido - Continuidade de função

Considere a função real definida por:
Para qual valor de k a função é contínua?

Solução:
Inicialmente, devemos definir o domínio dessa função e como sabemos que não podemos ter valores negativos dentro das raízes temos que:

1 + x > 0, logo, x > -1
1 - x > 0, logo, x < 1

-1 < x < 1

Ainda, não podemos ter denominador nulo, logo:
1 + x ≠ 1 - x
2x ≠ 0
≠ 0. 


O que é respeitado quando dizemos que para x = 0, f(x) = k.



Agora, para saber a continuidade devemos fazer o limite da função f(x) para x tendendo a zero.

Para isso:




Simplificando o x:




Logo, para que f(x) seja contínua, k = 1.




Exercício resolvido - Quantidade de movimento

Dois objetos, A e B, movendo-se sem atrito sobre uma reta horizontal, estão em interação. A quantidade de movimento de A é QDMA = Po - bt, onde Po e b são constantes e t é o tempo. Determine a quantidade de movimento de B como função do tempo quando a) B está inicialmente em repouso e b) a quantidade de movimento inicial de B é igual a -Po

Solução:
O fato de os blocos estarem interagindo significa, quando falamos de quantidade de movimento, que a quantidade de movimento de ambos permanece constante, já que não há força externa (atrito, por exemplo) agindo nos blocos.
Com isso:

a)
Para t = 0, a quantidade de movimento de A é Po e a quantidade de movimento de B é zero, pois B esta em repouso. Assim, a quantidade de movimento total será:
QDMT = QDMA + QDMB =  Po + 0 = Po

Para t = t, teremos que a quantidade de movimento total não muda, pois como já foi dito, não há força externa atuando no sistema. Assim:
QDMA = Po - bt
QDMB = QDMB
Sabemos que:
QDMA + QDMB = Po
(Po - bt) + (QDMB) = Po
QDMB = bt

b)
De forma análoga:
Para t = 0:
QDMA = Po
QDMB = -Po
A quantidade de movimento total será:
QDMT = Po - Po = 0

Para t = t
QDMA = Po - bt
QDMB = QDMB
Sabemos que:
QDMA + QDMB = 0
(Po - bt) + (QDMB) = 0
QDMB = bt - Po