Progressão aritmético-geométrica
Neste exercício será calculada a soma da progressão aritmético-geométrica na qual o n-ésimo termo é dado por:
Solução:
A soma que se deseja calcular é:
Percebe-se que não se trata nem de uma progressão aritmética (PA) e nem de uma progressão geométrica (PG), mas um misto das duas.
Multiplicando a equação acima por x de ambos os lados temos:
Adotando a mesma estratégia para a obtenção da fórmula da soma da PG (veja aqui), faz-se a subtração:
Veja também:
Definição e exemplos do princípio da indução finita
O que resulta em algo familiar já que do lado direito da igualdade temos a soma de uma PG com termo inicial a1 = x, razão q = x e n termos, exceto pelo último termo que esta subtraindo tudo. Assim, usando a fórmula da soma da PG que já é conhecida, obtemos:
Assim, dividindo tudo por (1-x) isolamos o Sn:
Perceba que este resultado vale apenas para x ≠ 1. Para x = 1 temos a soma de uma PA:
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