Espaço vetorial finitamente gerado, Dependência linear e Base de um espaço vetorial finitamente gerado

ESPAÇO VETORIAL FINITAMENTE GERADO

A forma mais fácil de se entender o que isso significa é através de exemplos. Considere o conjunto dos números reais. Este conjunto é um espaço vetorial sobre ele mesmo (Veja O que é um espaço vetorial) segundo a soma e a multiplicação que conhecemos.

Agora, seja o conjunto S = {1}, onde S $ \subset \, \Re $. É muito fácil perceber que qualquer valor real pode ser obtido através de uma Combinação Linear de {1}.

Exemplo:

$ 4,123904 \, = \, 4,123904 \times 1 $

$ \pi \, = \, \pi \times 1 $

$ \sqrt{2} \, = \, \sqrt{2} \times 1 $

Desta forma, $ \Re $ é um espaço vetorial finitamente gerado onde S gera $ \Re $. Infinitos outros conjuntos podem ser geradores de $ \Re $. O {1} é apenas um exemplo bastante didático para se utilizar, já que fica muito fácil perceber.

Para $ \Re ^2 $ é bastante simples de perceber que S = {(1,0) , (0,1)} é um conjunto gerador, porém S = {(-1,1) , (1,1)} também é um conjuntos gerador de $ \Re ^2 $. Veja:

Exemplo:

$ \left (4,10 \right ) \, = \, \alpha \times \left (-1,1 \right ) \, + \, \beta \times \left (1,1 \right ) $

$ \alpha \, = \, 3 , \, \beta \, = \, 7 $

Assim, para qualquer $ \left (a,b \right ) \, \in \, \Re ^2 $ temos que:

$ \left (a,b \right ) \, = \, \alpha \times \left (-1,1 \right ) \, + \, \beta \times \left (1,1 \right ) $

$ \alpha \, = \, \frac{a-b}{2} , \, \beta \, = \, \frac{a+b}{2} $

O que garante que S = {(-1,1) , (1,1)} gera $ \Re ^2 $

Assim, definimos:
Um espaço vetorial V é finitamente gerado quando existe um conjunto S $ \subset $ V, S finito, onde S gera V.

DEPENDÊNCIA LINEAR

Definição: Um conjunto S = { $ u_1 , \, u_2 , \, u_3 , \, ... $ } $ \subset $ V é linearmente independente se, e somente se, a relação $ \alpha _1 u_1 + \alpha _2 u_2 + \alpha _3 u_3 + ... = o , \, \alpha _i \, \in \, \Re $ só existir  para $ \alpha _1 = \alpha _2 = \alpha _3 = ... = 0 $.

Exemplo:
S = {(-1,1) , (1,1)}
$ \alpha _1 \times \left (-1,1 \right ) + \alpha _2 \times \left (1,1 \right ) \, = \, o $
$ - \alpha _1 + \alpha _2 \, = \, 0 $
$ \alpha _1 + \alpha _2 \, = \, 0  $

Que só é possível se $ \alpha _1 = \alpha _2 = 0 $. Assim, o conjunto S = {(-1,1) , (1,1)} é linearmente independente.

Veja também:
O que é um espaço vetorial
Propriedades de um Espaço Vetorial

Sub-espaço Vetorial e Combinação Linear

Exercício Resolvido - Base de um espaço vetorial: Independência linear

BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL FINITAMENTE GERADO

Um conjunto S $ \subset $ V é uma base de V se:
1 - S gera V e;
2 - S é linearmente independente.

Com essas condições podemos concluir que o conjunto S = {(-1,1) , (1,1)} é uma base de $ \Re ^2 $.
Podemos perceber também que S = {1} é uma base de $ \Re $ e S = {(1,0) , (0,1)} é outra base de $ \Re ^2 $.

Fonte: CALLIOLI, Carlos A.; DOMINGUES, Hygino H.; COSTA, Roberto C. F., Álgebra Linear e Aplicações, São Paulo, Atual, 6ª ed, 1990.

Sub-espaço Vetorial e Combinação Linear

Sub-espaço Vetorial

Definição: Dado um espaço vetorial $ V $ sobre $ \Re $, um sub-espaço vetorial de $ V $ é um conjunto $ W \,  \subset \, V $, que apresenta as seguintes propriedades:
a) $ o \, \in \, W $

b) $ \forall u, \, v \, \in \, W, \, u \, + \, v \, \in \, W $
c) $ \forall \alpha \, \in \, \Re $ e $ \forall u \, \in \, W, \, \alpha u \, \in \, W $

Com estas propriedades é possível verificar a Proposição I abaixo:

Proposição I - Se $ W $ é um sub-espaço vetorial de $ V $, então $ W $ também é um espaço vetorial sobre $ \Re $.

A prova deve ser feita verificando os oito itens que definem um Espaço Vetorial (Veja O que é um Espaço Vetorial)

Faremos alguns, apenas para demonstrar:
I-a)
Este item é praticamente direto, já que todo elemento de $ W $ é também elemento de $ V $, já que $ W \, \subset \, V $, assim, sejam $ u, \, v \, \in \, W $, temos que $ u, \, v \, \in \, V $, logo certamente $ u \, + \, v \, = \, v \, + \, u $, já que $ V $ é um espaço vetorial.

I-d)
Para mostrar que um sub-espaço satisfaz este item, basta usar a definição c) acima e fazer $ \alpha \, = \, -1 $. Com isso mostramos que no sub-espaço $ W $ possui o elemento oposto.

Combinação Linear

Adotando $ V $ um espaço vetorial. Sejam $ \left \{ v_1, \, v_2, \, v_3, \, ..., \, v_n \right \} $ elementos de $ V $. Seja o conjunto de elementos formados da seguinte forma:
$$ \left [ L \right ] \, = \,  \left \{ \alpha_1 v_1 \, + \, \alpha_2 v_2 \, + \, \alpha_3 v_3 \, + \,  ... \, + \, \alpha_n u_n \, | \, \alpha_1, \, ... \, , \alpha_n \, \in \, \Re \right \} $$

É possível mostrar que [L] é um sub-espaço vetorial:
a) Basta fazer todos os $ \alpha \, = \, 0 $

b) Se $ v \, = \, \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + ... \, e \, w \, = \,  \beta_1 v_1 + \beta_2 v_2 + ... $ pertencem a [L].
Então:
$ v \, + \, w \, = \, ( \alpha_1 \, + \, \beta_1) v_1 \, + \, ( \alpha_2 \, + \, \beta_2) v_2 \, + \, ... $ também pertence, pois $ \left ( \alpha_n \, + \, \beta_n \right ) \, \in \, \Re, \, \forall n $

c) Seja $ v \, = \, \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + ... $
então
$ \alpha v \, = \, \alpha \times \left ( \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + ... \right ) $
$ \alpha v \, = \, \alpha \times \alpha_1 v_1 + \alpha \times \alpha_2 v_2 + ...  $
Mas como $ \alpha $ e $ \alpha_n $ são números reais, então $ \alpha \times \alpha_n $ também será, o que garante que, para qualquer $ \alpha \, \in \, \Re $ e para qualquer $ v \, \in \, [L], \, \alpha \times v \, \in [L] $

Assim:
Cada elemento do sub-espaço [L] que acabamos de definir é uma combinação linear dos elementos $ \left \{ v_1, \, v_2, \, v_3, \, ..., \, v_n \right \} $

Fonte: CALLIOLI, Carlos A.; DOMINGUES, Hygino H.; COSTA, Roberto C. F., Álgebra Linear e Aplicações, São Paulo, Atual, 6ª ed, 1990.

Propriedades de um Espaço Vetorial

Após definir o que é um espaço vetorial, algumas propriedades podem ser observadas de forma quase imediata. A seguir veremos algumas delas:

Propriedade I: $\forall \alpha \, \in \, \Re, \, \alpha o \, = \, o$
Propriedade II: $\forall u \, \in \, V, \, u0 \, = \, 0$

Propriedade III: Se $\alpha u \, = \, o$ para $\alpha \, \in \, \Re$ e $u \, \in \, V$, então ou $\alpha \, = \, 0!$ ou $u \, = \, o$
Propriedade IV: $\forall \alpha \, \in \, \Re$ e $\forall u \, \in \, V, \, (-\alpha) u \, = \, \alpha (-u) \, = \, -(\alpha u)$
Propriedade V: $\forall \alpha \, \beta \, \in \, \Re$ e $\forall u \, \in \, V, \, (\alpha \, - \, \beta)u = \alpha u \, - \, \beta u$

O que é um Espaço Vetorial

Exemplo:
Prove a Propriedade I:
Das definições de Espaço Vetorial II-c e I-c, temos que:
$\alpha o \, = \, \alpha (o \, + \, o) \, = \, \alpha o \, + \, \alpha o$
Seja a igualdade $\alpha o \, = \, \alpha o$
Somando $- \alpha o$ de ambos os lados da igualdade temos:
$o \, = \, - \alpha o \, + \, \alpha o \,$
Aplicando o que foi mostrado acima, onde $\alpha 0 \, = \, \alpha o \, + \, \alpha o$ temos
$o \, = \, - \alpha o \, + \, \alpha o \, + \, \alpha o \, = \, \alpha o$
Ou seja:
$o \, = \, \alpha o$

Fonte: CALLIOLI, Carlos A.; DOMINGUES, Hygino H.; COSTA, Roberto C. F., Álgebra Linear e Aplicações, São Paulo, Atual, 6ª ed, 1990.

       

O que é um espaço vetorial?

Definição de um espaço vetorial

Definição: Um conjunto $V\, \neq \, \emptyset$ é um espaço vetorial sobre $ \Re $ se, e somente se, satisfizer as seguintes condições:

I - Existir uma adição em $V$ com as seguintes propriedades:

a) $u\, +\, v\, = \, v\, + \, u, \, \forall u , \, v \, \in \, V$

b) $u \, + \, (v \, + \, w) \, = \, (u \, + \, v) \, + \, w, \forall u, \, v , \, w \in \, V$

c) Existe em $V$ um elemento neutro para essa adição, simbolizado por $o$, onde:

$$u \, + \, o \, = \, u, \forall \, u \, \in \, V$$

d) Para todo elemento $u$ de $V$, existe seu oposto onde:

$$u \, + \, (-u) \, = \, o$$

II - Existir uma multiplicação $\Re \times V$ em $V$, ou seja, para todo par ($\alpha, u$) onde $\alpha \, \in \, \Re$ e $u \, \in \, V$, existe um, e apenas um elemento $v$ de $V$ tal que $\alpha \times u \, = \, v$, e para essa multiplicação tem-se, $ \forall \, \alpha, \, \beta \, \in \, \Re$:

a) $\alpha ( \beta u) \, = \, (\alpha \beta)u$

b) $(\alpha \, + \, \beta)u \, = \, \alpha u \, + \, \beta u$

c) $\alpha ( u \, + \, v) \, = \, \alpha u \, + \, \alpha v$

d) $1u \, = \, u$

Veja também:
Propriedades de um Espaço Vetorial
Sub-espaço Vetorial e Combinação Linear
Exercício Resolvido - Base de um espaço vetorial: Independência linear

Portanto, qualquer que seja a "soma" e a "multiplicação" definidas em um conjunto tais que satisfaçam as condições acima, teremos que o conjunto é um espaço vetorial segundo esta soma e esta multiplicação.

Fonte: CALLIOLI, Carlos A.; DOMINGUES, Hygino H.; COSTA, Roberto C. F., Álgebra Linear e Aplicações, São Paulo, Atual, 6ª ed, 1990.

Exercício Resolvido - Integral

Calcule as seguintes integrais:
1) Cos²(x)*Tan³(x)

2) Sec⁴(x/2)

3) Senⁿ(x)

4) Sen⁴(x)

Solução:

1)

Mas, das relações trigonométricas temos:

Substituindo na integral:

Como há uma subtração no integrando, podemos separar em duas integrais

Simplificando a segunda integral temos:

Como a derivada de Cos(x) = -Sen(x), vou chamar Cos(x) de 'u', ou seja, Cos(x) = u, logo, derivando de ambos os lados -Sen(x)dx = du.

Fazendo a substituição nas integrais:

Onde k1 e k2 são constantes arbitrárias que podemos substituir por k1 + k2 = k. Porém, como u = Cos(x).

2) Neste, a integral será com limites:

Para utilizar a integração por partes:

Nomeando convenientemente cada um dos fatores do integrando:

Integrando por partes:

Substituindo Tan(x/2) = u, onde du = (1/2)Sec²(x/2)dx

Como u = Tan(x/2)

Como Tan(0) = 0

Veja também:
O que é Integral?
Exercício Resolvido - Integrais
Exercício Resolvido - Integral de √(4 /x⁴-x²)
Exercício resolvido - Integral - Cálculo da área abaixo das curvas
Dedução da Área da elipse usando apenas conhecimentos de cálculo I

3) Integrando Senⁿ(x) por partes

Mas, das relações trigonométricas temos que Cos²(x) + Sen²(x) = 1, ou seja, Cos²(x) = 1 - Sen²(x)

Assim:

4) Usando o resultado do exercício 3) para n = 4, temos:

Para calcular a integral de Sen²(x) é possível utilizar o resultado obtido no exercício 3) também, para n = 2.

Onde C é uma constante qualquer.

Das relações trigonométricas temos que Sen(2x) = 2Sen(x)Cos(x)

Assim, substituindo:

Porém, como C é uma constante arbitrária, 3C/4 também será. Assim, para facilitar pode-se usar K = 3C/4

Exercício Resolvido - Geometria Espacial: Plano e esfera

Determine a razão entre o volume da esfera e o volume do cubo da figura abaixo sabendo que a esfera tangencia três faces do cubo e o plano secante formado pelo hexágono. Os pontos do hexágono são pontos médios das 6 arestas do cubo.

Solução:

Para definirmos a esfera é preciso conhecer as coordenadas do seu centro e o seu raio.

O exercício nos fala que a esfera tangencia 4 planos:

- Plano superior definido por z = a (onde a é a aresta do cubo e z o eixo vertical);

- Plano lateral esquerdo definido por y = 0;

- Plano frontal definido por x = a e;

- Plano formado pelo hexágono.

Dos planos tangentes sabe-se que o vetor formado pelo ponto central da esfera e o ponto de tangência é perpendicular ao plano tangente. Por exemplo, no caso do plano z = a (superior) se o ponto de tangência é definido por (x1, y1, a) e o ponto do centro da esfera definido por (xc, yc, zc) temos que o vetor V = (xc - x1, yc - y1, zc - a) é perpendicular ao plano z = a. Como o vetor (1, 1, 0) é paralelo ao plano z = a, então:

<(xc - x1, yc - y1, zc - a),(1,1,0)> = 0

O que nos leva que:

xc = x1

yc = y1

Este resultado é bastante intuitivo pois se a esfera é tangente ao plano z = a, então o centro dela terá coordenadas xc e yc iguais às coordenadas x1 e y1 já que este plano é paralelo ao plano formado pelo eixos xy. O mesmo raciocínio pode ser usado para os planos y = 0 e x = a. No caso de y = 0, seja (x2, 0, z2) o ponto de tangência da esfera. Assim, xc = x2 e zc = z2. Da tangência com o plano x = a, temos o ponto (a, y3, z3), neste caso, yc = y3 e zc = z3. Na figura abaixo fica mais fácil de perceber isso.

Na figura acima, em preto tracejado estão as reta que ligam o centro da esfera com os pontos de tangência nas faces do cubo e em verde, os pontos de tangência. Perceba que no caso do ponto de tangência com o plano superior do cubo, a linha que liga o centro da esfera com ele é totalmente vertical, logo as coordenadas x e y de ambos os pontos devem ser iguais. O mesmo raciocínio pode ser feito aos outros dois pontos. Assim, já podemos concluir que:

x1 = x2 = xc

y1 = y3 = yc

z2 = z3 = zc

Agora, verificando a tangência com o hexágono.

Como em qualquer caso de tangência de um plano com uma esfera, a linha que une o ponto de tangência com o centro da esfera é perpendicular ao plano.

Do plano do hexágono nós conhecemos 6 pontos (os vértices do hexágono). Com apenas três deles é possível definir um plano. Usarei os pontos (a/2, a, a), (0, a/2, a) e (a, a, a/2) para definir o plano.

Neste caso podemos definir dois vetores:

V1 = (a/2, a, a) - (a, a, a/2) = (-a/2, 0, a/2) = (-1,0,1)

V2 = (a/2, a, a) - (0, a/2, a) = (a/2, a/2, 0) = (1,1,0)

Com o produto vetorial destes vetores podemos obter o vetor perpendicular ao plano formado pelo hexágono. Este vetor é importante pois define o plano.

Assim, o plano é definido por:

<(-1,1,-1), (x-a, y-a, z-a/2)> = 0

-(x-a) + (y-a) - (z-a/2) = 0

-x + a + y - a - z + a/2 = 0

x - y + z = a/2

z = a/2 + y - x

Logo, podemos definir genericamente o ponto de tangência da esfera com o plano do hexágono:

P4 = (x, y, a/2 + y - x) 

já que este ponto pertence ao plano.

Assim, já conhecemos, genericamente, os 4 pontos de tangência, são eles:

P1 = (xc, yc, a)

P2 = (xc, 0, zc)

P3 = (a, yc, zc)

P4 = (x4, y4, a/2 + y4 - x4)

Porém, todos estes pontos pertencem à esfera, logo devem satisfazer a equação da esfera, dada por:

(x - xc)² + (y - yc)² + (z - zc)² = r²

Onde r é o raio da esfera.

Assim, para cada ponto temos:

P1:

(xc - xc)² + (yc - yc)² + (a - zc)² = r²

(a - zc)² = r²

zc = a - r

P2:

(xc - xc)² + (0 - yc)² + (zc - zc)² = r²

yc² = r²

yc = r

P3:

(a - xc)² + (yc - yc)² + (zc - zc)² = r²

xc = a - r

P4:

(x4 - xc)² + (y4 - yc)² + (a/2 + y4 - x4 - zc)² = r²

A equação para o ponto P4 ainda não vou desenvolvê-la pois vai ficar muito grande. É mais conveniente manter ela "guardada" a depois de obter outros resultados que possam simplificá-la, voltamos a ela.

Do plano formado pelo hexágono podemos definir dois vetores que serão úteis:

- Vetor com origem no centro da esfera e final no ponto de tangência com o hexágono:

V4 = (x4, y4, a/2 + y4 - x4) - (xc, yc, zc) = (x4 - xc, y4 - yc, a/2 + y4 - x4 - zc)

Este vetor é perpendicular ao plano, e portanto paralelo ao vetor V3 = (-1, 1, -1)

- Um vetor paralelo ao plano, com origem e término em quaisquer dois pontos do plano. Usarei os ponto:

(a, a/2, 0) e (0, a/2, a) para definir este vetor:

V5 = (a, a/2, 0) - (0, a/2, a) = (a, 0, -a) = (1, 0, -1)

Este vetor é paralelo ao plano e portanto perpendicular ao vetor V4.

Se V4 é perpendicular a V5, então o produto escalar entre eles será zero:

<(x4 - xc, y4 - yc, a/2 + y4 - x4 - zc), (1, 0, -1)> = 0

x4 - xc - a/2 - y4 + x4 + zc = 0

y4 = - xc - a/2 + 2x4 + zc

Como zc = xc

y4 =2x4 - a/2

Se V4 é paralelo a V3, então o produto vetorial entre eles é um vetor nulo:

Com os resultados que já obtemos até aqui, podemos simplificar o vetor V4:

V4 = (x4 - xc, y4 - yc, a/2 + y4 - x4 - zc) = (x4 - xc, 2x4 - a/2 - yc, a/2 + 2x4 - a/2 - x4 - zc)

V4 = (x4 - a + r, 2x4 - a/2 - r, x4 - a + r)

Assim, o produto vetorial fica:

Como o produto é um vetor nulo, temos que:

x4 = a/2

Assim:

y4 = 2x4 - a/2 = a/2

Voltando à equação (x4 - xc)² + (y4 - yc)² + (a/2 + y4 - x4 - zc)² = r², temos que:

(a/2 - a + r)² + (a/2 - r)² + (a/2 + a/2 - a/2 - a + r)² = r²

(-a/2 + r)² + (a/2 - r)² + (- a/2 + r)² = r²

Como (a/2 - r)² = (-a/2 + r)², pois ambos estão ao quadrado, temos:

Porém, a solução r1 é maior que a, o que é incompatível, já que o raio da esfera não pode ser maior que o lado do cubo. Portanto, o raio da esfera é igual a r2.

Assim, a razão entre os volumes vale:

A seguir é possível verificar a esfera, os planos tangentes e os pontos de tangência.

Princípio da indução finita

Definição e exemplos do princípio da indução finita

Este princípio é utilizado para a solução de diversos exercícios, porém ele serve apenas para aqueles que envolvem números inteiros e para exercícios que pedem que seja provado que algo é verdadeiro para um conjunto de valores inteiros.

Vou falar sobre o princípio utilizando a fórmula da soma da PA (Progressão Aritmética) para esclarecer.

 

Para isso, será necessário o uso da fórmula do termo geral da PA:

Voltamos ao método, que basicamente consiste em 3 etapas:

1ª Etapa - Dado um conjunto de valores inteiros que se deseja verificar a validade de algo proposto, deve-se verificar se é válido para o menor valor do conjunto.

No exemplo então, vamos verificar se a fórmula da soma da PA é válida para n = 1. Neste caso, é muito fácil perceber já que a soma será igual a a1, já que este é o único termo.

Vamos verificar se usando a fórmula o resultado é obtido:

O resultado obtido é correto, logo a fórmula da Soma da PA vale para o menor elemento do conjunto.

2ª Etapa - Assume-se que para um elemento 'k' qualquer e genérico do conjunto a fórmula é verdadeira.

Do exemplo vamos calcular a soma dos primeiros 'k' elementos do conjunto, neste caso, pela fórmula da soma da PA teremos que:

3ª Etapa - Assumindo que o resultado obtido na Etapa 2 seja verdadeiro, calculamos o resultado para 'k+1' e verificamos se obtemos a fórmula desejada.

Do exemplo usado temos então que a soma dos 'k+1' primeiros elementos é a soma dos 'k' primeiros elementos mais o elemento 'k+1'. Veja:

Observe que se usarmos a fórmula da soma da PA para calcular a soma dos 'k+1' primeiros termos (substituindo n = k+1) teremos exatamente o resultado acima. Portanto, provamos que a fórmula é válida sempre. Porém, por que podemos concluir isso? Por que o uso do princípio garante a validade da fórmula para qualquer quantidade de elementos?

Bom, tudo se resume às etapas que foram seguidas. 

Foi mostrado que para o primeiro elemento a fórmula é válida. 

Após isso, supomos na Etapa 2 que para um número de elementos 'k' qualquer ela é válida e a partir do resultado da Etapa 2 obtemos o resultado para 'k+1' e verificamos que ele é válido. A grande dúvida que surge é por que podemos garantir que o resultado obtido na Etapa 2 é válido?

Na verdade a gente não garante isso, apenas supõe. Porém se a partir do resultado da Etapa 2 pudermos obter um resultado satisfatório na Etapa 3 então o resultado é válido. O que garante isso é o seguinte raciocínio:

- Para o menor elemento a equação é válida;

- Então, se 'k' = 1 a nossa suposição da Etapa 2 é verdadeira, e não apenas uma suposição, já que mostramos na Etapa 1 isso;

- Mas na Etapa 3 nós mostramos que se 'k' é verdadeiro, então 'k+1' também é;

- Como para 'k' = 1 vimos que é verdadeiro na Etapa 1, então certamente para 'k+1' = 2 também será, como visto na Etapa 3;

- Mas se para 'k' = 2 é verdadeiro, então para 'k+1' = 3 também será;

- Mas se para 'k' = 3 é verdadeiro, então para 'k+1' = 4 também será;

- ...

Assim, o princípio garante que para qualquer 'k' ele é verdadeiro, desde que as etapas sejam satisfeitas.

Exercícios que o princípio foi usado:

Somatório de n²

Dedução da fórmula da soma da PG por indução

Aula sobre PG

Exercício Resolvido - Limite e função

Seja o conjunto de funções do tipo fn(x) = -(1/kn²)x + 2/kn, onde kn assume qualquer valor real positivo. Determine qual é a função g(x) formada pela intersecção de infinitas retas do tipo fn, conforme figura a seguir.

Solução:
Veja que na figura acima as retas do gráfico foram para os valores de k = n/3, para n = 1,2,3,...,12, conforme figura que segue:

Quando estas retas são sobrepostas é que é possível ver a tendência à formação de uma outra curva, neste caso ilustrada em preto na figura ilustrativa do exercício. Porém, é importante perceber que não é simplesmente a intersecção das retas que gera esta curva, mas sim a intersecção das retas mais próximas, ou seja, a intersecção da reta para k = 1/3 com a reta para k = 4 não fica na fronteira formadora da curva desejada. Além disso, a formação da curva acontece à medida que os valores de k se aproximam. Perceba na figura abaixo que, na verdade, a curva g(x) não passa pelos pontos de intersecção das retas, mas a medida que os valores de k se tornam mais próximos, o ponto de intersecção passa a se aproximar de g(x).

Neste caso, as retas foram formadas para k1 = 2 e k2 = 2/3.

Para k1 = 0,95 e k2 = 1,05 foi preciso dar um zoom na figura para poder ver exatamente o que acontece, pois o ponto de intersecção das retas se aproxima muito da curva em preto:

Veja que o ponto esta mais próximo, mas a curva g(x) ainda não passa por ele. Na verdade o ponto de intersecção das retas será um ponto da curva g(x) apenas no limite para k1 tendendo a k2.

Neste caso então, vou supor que k2 = k1 + eps, onde 'eps' é um valor muito pequeno, depois irei fazer ele tender a zero. Assim, substituindo na equação fn(x) temos:

Mas no ponto de intersecção, f1(x) = f2(x)

Assim, calculamos o valor de x no ponto de intersecção. Chamarei de xo:

Fazendo o limite para eps tendendo a zero, temos:

Substituindo na equação f1 para x = xo = k1 temos:

Obs.: Se xo = k1 fosse substituído na função f2, para k2 = k1 + eps com eps tendendo a zero, o resultado seria o mesmo, já que estamos procurando o ponto de intersecção.

Assim, temos que no limite, para k1 tendendo a k2 (ou seja, para eps tendendo a zero) o ponto de intersecção das curvas é dado pelo par ordenado (k1, 1/k1). Ou seja, y = 1/x. Logo, a função g(x) definida pelas retas é:

g(x) = 1/x

Veja a seguir o gráfico com 100 curvas e, no gráfico da direita em preto, a curva g(x) = 1/x