Exercício Resolvido - Pontos de máximo, mínimo e sela

Ache os pontos de máximo e mínimo locais e pontos de sela da função:

Solução:
Dado o seguinte teorema temos:

Teorema: Dada a função f(x, y): ℝ² → ℝ tal que existam pontos de máximo ou mínimo locais no interior do seu domínio. Se nestes pontos existirem as derivadas parciais de primeira ordem de f(x,y), então elas são nulas.

Com isso, calculamos as derivadas parciais da função f(x,y):



Fazendo



Assim, temos que:



Que só admite soluções reais do tipo:



Assim, esses são os potos críticos. Para saber se são pontos de máximo local, mínimo local ou de sela, temos que calcular as derivadas parciais de f de segunda ordem e o determinante da matriz Hessiana ( [H] ):



Assim, devemos observar o seguinte teorema:

Teorema: Dada a função f: ℝ² → ℝ e (x0, y0) um ponto crítico de f . Então:
a) Se det[H] no ponto (x0, y0) for menor que zero, então (x0, y0) é um ponto de sela;
b) Se det[H] no ponto (x0, y0) for maior que zero e também no ponto (x0, y0),

é um ponto de mínimo local;
c) Se det[H] no ponto (x0, y0) for maior que zero e também no ponto (x0, y0),

então (x0, y0) é um ponto de máximo local e;
d) Se det[H] no ponto (x0, y0) for igual a zero, então nada podemos afirmar.

Obs.: Vale a pena ressaltar que este teorema só vale para a matriz [H] sendo 2x2.

Cálculo das derivadas parciais de segunda ordem:


Determinante da matriz Hessiana:


No ponto (1,1):

Logo, este é um ponto de mínimo local;

No ponto (-1,-1):

Logo, este também é um ponto de mínimo local;

No ponto (0,0):

Logo, este é um ponto de sela;

Abaixo, veja a superfície formada por f(x,y) e os pontos (1,1), (0,0) e (-1,-1) representados em preto;

Exercício Resolvido - Reta tangente à intersecção de superfícies

Encontre as equações paramétricas para a reta tangente à curva definida pela intersecção das superfícies:

No ponto P de coordenadas

Solução:

A primeira superfície é mais simples de perceber que é um cilindro. A segunda é um paraboloide. As superfícies podem ser vistas, separadas, abaixo:

Colocando elas juntas, temos:

Cálculo da curva da intersecção das superfícies:

Se há intersecção, então os valores de x, y e z devem ser iguais nas duas superfícies. A primeira superfície pode ser parametrizada da seguinte forma:

Porém, das Relações Trigonométricas temos que Sen²(a) + Cos²(a) = 1. Assim:

Podendo ser feita a igualdade:

A equação paramétrica fica:

Como z pode assumir qualquer valor pois não é dependente de x nem de y na primeira superfície, então sua forma parametrizada pode ser z = z. Ficando, portanto:

A outra superfície tem equação z = x² + y²
Assim, a curva de intersecção das superfícies na sua forma parametrizada é:

Ou seja, a curva é uma circunferência de raio 2 na altura z = 4. Veja na figura abaixo a curva em cor vermelha:

O que o exercício pede é a reta tangente à curva de intersecção no ponto P.
Esta reta terá equação do tipo

Onde a é o coeficiente angular e b o coeficiente linear da reta. Porém, como ela é tangente no ponto P então o coeficiente angular da reta deve ser a derivada de y em relação a x. A derivada pode ser calculada por:

Mas, no ponto P temos que:


Logo:



Assim,



Com isso, já é possível determinar a equação da reta:



Como ela passa pelo ponto P:



A equação da reta fica:



A parametrização pode ser feita da seguinte forma:



Veja também:
Exercício Resolvido - Geometria analítica: Reta e elipse

Exercício Resolvido - Geometria Espacial: Plano e esfera

Abaixo a figura com o ponto P em verde e em preto, a reta tangente:

Aproximando um pouco mais:

Exercício Resolvido - Paradoxo do aniversário

Probabilidade de se ter duas pessoas fazendo aniversário no mesmo dia num grupo de n pessoas.

Em um grupo de n pessoas escolhidas aleatoriamente, qual a probabilidade de que pelo menos duas façam aniversário no mesmo dia?
Qual deve ser o menor valor de n para que a probabilidade seja superior a 95%?

Solução:
A solução deste exercício, como de qualquer exercício de probabilidade, pode ser calculando-se os casos
favoráveis e somar todos eles, porém neste caso este procedimento é muito custoso e desnecessário. Perceba no caso de n = 4. Teríamos que calcular a probabilidade de 2 fazerem aniversário no mesmo dia, depois de 3 fazerem e depois os 4. Agora imagina este valor de n aumentando... Neste caso, é muito mais simples o cálculo dos casos que não estamos interessados (ou seja, todos fazerem em datas diferentes) e com isso, subtraindo de 1 sabemos a probabilidade que desejamos. Façamos para n = 4 das duas formas para que se verifique que o resultado é o mesmo:

Caso1: apenas 2 pessoas fazendo aniversário no mesmo dia:
- A primeira pessoa faz aniversário na data D $ \rightarrow $ probabilidade = 1 já que ela deve fazer aniversário em algum dia;
- A segunda faz em D também $ \rightarrow $ probabilidade = $ \frac{1}{365} $
- A terceira faz em outra data qualquer $ \rightarrow $ probabilidade = $ \frac{364}{365} $
- A quarta faz numa data diferente de D e diferente da terceira pessoa $ \rightarrow $ probabilidade = $ \frac{363}{365} $
Neste caso temos 6 combinações possíveis:
$$ P_1 \, = \, 6 \times \left ( 1 \times \frac{1}{365} \times \frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \right ) $$

Caso2: dois a dois fazem aniversário no mesmo dia:
- A primeira pessoa faz aniversário no dia D;
- A segunda pessoa faz aniversário no dia E diferente de D $ \rightarrow $ probabilidade = $\frac{364}{365} $;
- A terceira faz aniversário junto com a primeira $ \rightarrow $ probabilidade = $\frac{1}{365} $
- A quarta faz junto com a segunda $ \rightarrow $ probabilidade = $\frac{1}{365} $
Neste caso há três combinações:
- 1ª com 2ª e 3ª com 4ª;
- 1ª com 3ª e 2ª com 4ª e;
- 1ª com 4ª e 2ª com 3ª.
Assim:
$$ P_2 \, = \, 3 \times \left ( 1 \times \frac{364}{365} \times \frac{1}{365} \times \frac{1}{365} \right ) $$

Caso3: três fazendo aniversário no mesmo dia:
- A primeira faz no dia D;
- A segunda também $ \rightarrow $ probabilidade = $ \frac{1}{365}$;
- A terceira também $ \rightarrow $ probabilidade = $ \frac{1}{365}$;
- A quarta faz em outra data $ \rightarrow $ probabilidade = $ \frac{364}{365} $;
Temos aqui três combinações também, ficando:
$$ P_3 \, = \, 3 \times \left ( 1 \times \frac{1}{365} \times \frac{1}{365} \times \frac{364}{365} \right ) $$

Caso4: Todos fazendo aniversário na mesma data: Neste caso não há combinações por ser uma condição única, portanto não aparece termo multiplicando:
$$ P_4 \, = \, 1 \times \frac{1}{365} \times \frac{1}{365} \times \frac{1}{365} $$

A probabilidade total será:
$$ P = P_1 + P_2 + P_3 + P_4 \, \approx \, 0,0163 $$

Porém, a probabilidade de todos fazerem aniversário em datas diferentes é:
$$ P_{dif} \, = \, 1 \times \frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \times \frac{362}{365}  $$
Assim:
$$ P \, = \, 1 \, - \, P_{dif} \, \approx \, 0,0163 $$

Portanto, a probabilidade de pelo menos duas pessoas fazerem aniversário no mesmo dia num grupo de n pessoas é de:

$$ P \, = \, 1 \, - \, 1 \times \frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \times ... \times \frac{366-n}{365} $$

Em termos gerais, temos que a probabilidade é dada por:

$$ P \, = \, 1 \, - \, \frac{365!}{365^n \times (365-n)!} $$

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Veja também:
Exercício Resolvido - Probabilidade de ninguém pegar seu próprio nome em um amigo secreto

Exercício Resolvido - Prova CORSAN 2014: Probabilidade

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Assim, o menor valor de n para que a probabilidade seja maior que 95% é de n = 47, onde P $\approx$ 95,5%. Perceba que num grupo de 47 pessoas, é quase certo que duas delas façam aniversário na mesma data. O interessante é que para que a probabilidade seja 100%, é preciso um grupo de 365 pessoas. Assim, ao acrescentar mais pessoas a um grupo de 47, a probabilidade pouco se altera.

Outro exemplo é o caso de um jogo de futebol. Considerando o juiz e os auxiliares, temos 25 pessoas. A probabilidade de pelo menos dois fazerem aniversário no mesmo dia é de 56,87%.

Calcule a probabilidade de duas pessoas fazerem aniversário no mesmo dia na sua sala de aula e verifique!

Exercício Resolvido - Continuidade, limite e derivada parcial

Seja a função $ f: \Re ^2 \, \rightarrow \, \Re $ dada por:
$$ f(x,y) =
\left \{
\begin{array}{cc}
\frac{ x^3 y^2 }{x^4 + y^4}, & (x,y) \neq (0,0) \\
0, & (x,y) = (0,0) \\
\end{array}
\right. $$

mostre que ela é contínua em (0,0) e determine as derivadas parciais $ f_x (0,0) $ e $ f_y (0,0) $.

Solução:
Para verificar a continuidade devemos calcular o limite abaixo e ele deve dar zero:

$$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0) } \frac{ x^3 y^2 }{x^4 + y^4} $$

Para continuar, é preciso perceber que todo valor ao quadrado é positivo ou zero, assim:
$ \left ( x^2 \, - \, y^2 \right )^2 \, \geq \, 0 $
$ x^4 \, - \, 2 x^2 y^2 \, + \, y^4 \, \geq \, 0 $
$ x^4 \, + \, y^4 \, \geq 2 x^2 y^2 $
$ \frac{1}{2} \, \geq \, \frac{x^2 y^2}{x^4 \, + \, y^4} $

Como só temos termos ao quadrado e à quarta, $ \frac{x^2 y^2}{x^4 \, + \, y^4} $ certamente não é negativo, assim:

$$ \frac{1}{2} \, \geq \, \frac{x^2 y^2}{x^4 \, + \, y^4} \, \geq \, 0 $$

Logo, o termo $ \frac{x^2 y^2}{x^4 \, + \, y^4} $ é limitado. Assim, fazendo a igualdade e substituindo $ \frac{x^2 y^2}{x^4 \, + \, y^4} \, = \, t $ temos:

$$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0) } x \times \left ( \frac{ x^2 y^2 }{x^4 + y^4} \right ) = \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0) }{ x \times t} $$

Como $ x \, \rightarrow \, 0 $ e $ t $ é limitado, o limite é zero:

$$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0) }{ x \times t} \, = \, 0 $$

Perceba na figura a seguir como realmente a superfície tende a zero em qualquer direção:

Veja também:
Exercício Resolvido - Reta tangente à intersecção de superfícies
Exercício Resolvido - Multiplicadores de Lagrange
Exercício Resolvido - Pontos de máximo, mínimo e sela

As derivadas parciais no ponto (0,0) devem ser calculadas pela definição:

$$ f_x (0,0) \, = \, \lim_{h \rightarrow 0 }{ \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h}} \, = \, \lim_{h \rightarrow 0 }{ \frac{h^3 0^2}{h^4+0^4}} \, - \, 0 \, = \, 0 $$
$$ f_y (0,0) \, = \, \lim_{h \rightarrow 0 }{ \frac{f(0,h) - f(0,0)}{h}} \, = \, \lim_{h \rightarrow 0 }{ \frac{0^3 h^2}{0^4+h^4}} \, - \, 0 \, = \, 0 $$

Logo:

$$ f_x(0,0) \, = \, 0 $$
$$ f_y(0,0) \, = \, 0 $$

Veja na figura a seguir a reta f(x,0) em vermelho e a reta f(0,y) em amarelo. Perceba que elas não variam e são identicamente nulas, ou seja, f(x,0) = 0 e f(0,y) = 0 para qualquer valor de x ou y. Isso garante que a derivada parcial destas funções no ponto (0,0) deve ser zero pois a função não varia nas direções (1,0) e (0,1), confirmando o que foi obtido anteriormente. Ainda, para ser mais abrangente, as derivadas parciais serão sempre nulas se x = 0 ou se y = 0 (ou, claro, se ambos forem nulos).

Espaço vetorial finitamente gerado, Dependência linear e Base de um espaço vetorial finitamente gerado

ESPAÇO VETORIAL FINITAMENTE GERADO

A forma mais fácil de se entender o que isso significa é através de exemplos. Considere o conjunto dos números reais. Este conjunto é um espaço vetorial sobre ele mesmo (Veja O que é um espaço vetorial) segundo a soma e a multiplicação que conhecemos.

Agora, seja o conjunto S = {1}, onde S $ \subset \, \Re $. É muito fácil perceber que qualquer valor real pode ser obtido através de uma Combinação Linear de {1}.

Exemplo:

$ 4,123904 \, = \, 4,123904 \times 1 $

$ \pi \, = \, \pi \times 1 $

$ \sqrt{2} \, = \, \sqrt{2} \times 1 $

Desta forma, $ \Re $ é um espaço vetorial finitamente gerado onde S gera $ \Re $. Infinitos outros conjuntos podem ser geradores de $ \Re $. O {1} é apenas um exemplo bastante didático para se utilizar, já que fica muito fácil perceber.

Para $ \Re ^2 $ é bastante simples de perceber que S = {(1,0) , (0,1)} é um conjunto gerador, porém S = {(-1,1) , (1,1)} também é um conjuntos gerador de $ \Re ^2 $. Veja:

Exemplo:

$ \left (4,10 \right ) \, = \, \alpha \times \left (-1,1 \right ) \, + \, \beta \times \left (1,1 \right ) $

$ \alpha \, = \, 3 , \, \beta \, = \, 7 $

Assim, para qualquer $ \left (a,b \right ) \, \in \, \Re ^2 $ temos que:

$ \left (a,b \right ) \, = \, \alpha \times \left (-1,1 \right ) \, + \, \beta \times \left (1,1 \right ) $

$ \alpha \, = \, \frac{a-b}{2} , \, \beta \, = \, \frac{a+b}{2} $

O que garante que S = {(-1,1) , (1,1)} gera $ \Re ^2 $

Assim, definimos:
Um espaço vetorial V é finitamente gerado quando existe um conjunto S $ \subset $ V, S finito, onde S gera V.

DEPENDÊNCIA LINEAR

Definição: Um conjunto S = { $ u_1 , \, u_2 , \, u_3 , \, ... $ } $ \subset $ V é linearmente independente se, e somente se, a relação $ \alpha _1 u_1 + \alpha _2 u_2 + \alpha _3 u_3 + ... = o , \, \alpha _i \, \in \, \Re $ só existir  para $ \alpha _1 = \alpha _2 = \alpha _3 = ... = 0 $.

Exemplo:
S = {(-1,1) , (1,1)}
$ \alpha _1 \times \left (-1,1 \right ) + \alpha _2 \times \left (1,1 \right ) \, = \, o $
$ - \alpha _1 + \alpha _2 \, = \, 0 $
$ \alpha _1 + \alpha _2 \, = \, 0  $

Que só é possível se $ \alpha _1 = \alpha _2 = 0 $. Assim, o conjunto S = {(-1,1) , (1,1)} é linearmente independente.

Veja também:
O que é um espaço vetorial
Propriedades de um Espaço Vetorial

Sub-espaço Vetorial e Combinação Linear

Exercício Resolvido - Base de um espaço vetorial: Independência linear

BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL FINITAMENTE GERADO

Um conjunto S $ \subset $ V é uma base de V se:
1 - S gera V e;
2 - S é linearmente independente.

Com essas condições podemos concluir que o conjunto S = {(-1,1) , (1,1)} é uma base de $ \Re ^2 $.
Podemos perceber também que S = {1} é uma base de $ \Re $ e S = {(1,0) , (0,1)} é outra base de $ \Re ^2 $.

Fonte: CALLIOLI, Carlos A.; DOMINGUES, Hygino H.; COSTA, Roberto C. F., Álgebra Linear e Aplicações, São Paulo, Atual, 6ª ed, 1990.

Sub-espaço Vetorial e Combinação Linear

Sub-espaço Vetorial

Definição: Dado um espaço vetorial $ V $ sobre $ \Re $, um sub-espaço vetorial de $ V $ é um conjunto $ W \,  \subset \, V $, que apresenta as seguintes propriedades:
a) $ o \, \in \, W $

b) $ \forall u, \, v \, \in \, W, \, u \, + \, v \, \in \, W $
c) $ \forall \alpha \, \in \, \Re $ e $ \forall u \, \in \, W, \, \alpha u \, \in \, W $

Com estas propriedades é possível verificar a Proposição I abaixo:

Proposição I - Se $ W $ é um sub-espaço vetorial de $ V $, então $ W $ também é um espaço vetorial sobre $ \Re $.

A prova deve ser feita verificando os oito itens que definem um Espaço Vetorial (Veja O que é um Espaço Vetorial)

Faremos alguns, apenas para demonstrar:
I-a)
Este item é praticamente direto, já que todo elemento de $ W $ é também elemento de $ V $, já que $ W \, \subset \, V $, assim, sejam $ u, \, v \, \in \, W $, temos que $ u, \, v \, \in \, V $, logo certamente $ u \, + \, v \, = \, v \, + \, u $, já que $ V $ é um espaço vetorial.

I-d)
Para mostrar que um sub-espaço satisfaz este item, basta usar a definição c) acima e fazer $ \alpha \, = \, -1 $. Com isso mostramos que no sub-espaço $ W $ possui o elemento oposto.

Combinação Linear

Adotando $ V $ um espaço vetorial. Sejam $ \left \{ v_1, \, v_2, \, v_3, \, ..., \, v_n \right \} $ elementos de $ V $. Seja o conjunto de elementos formados da seguinte forma:
$$ \left [ L \right ] \, = \,  \left \{ \alpha_1 v_1 \, + \, \alpha_2 v_2 \, + \, \alpha_3 v_3 \, + \,  ... \, + \, \alpha_n u_n \, | \, \alpha_1, \, ... \, , \alpha_n \, \in \, \Re \right \} $$

É possível mostrar que [L] é um sub-espaço vetorial:
a) Basta fazer todos os $ \alpha \, = \, 0 $

b) Se $ v \, = \, \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + ... \, e \, w \, = \,  \beta_1 v_1 + \beta_2 v_2 + ... $ pertencem a [L].
Então:
$ v \, + \, w \, = \, ( \alpha_1 \, + \, \beta_1) v_1 \, + \, ( \alpha_2 \, + \, \beta_2) v_2 \, + \, ... $ também pertence, pois $ \left ( \alpha_n \, + \, \beta_n \right ) \, \in \, \Re, \, \forall n $

c) Seja $ v \, = \, \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + ... $
então
$ \alpha v \, = \, \alpha \times \left ( \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + ... \right ) $
$ \alpha v \, = \, \alpha \times \alpha_1 v_1 + \alpha \times \alpha_2 v_2 + ...  $
Mas como $ \alpha $ e $ \alpha_n $ são números reais, então $ \alpha \times \alpha_n $ também será, o que garante que, para qualquer $ \alpha \, \in \, \Re $ e para qualquer $ v \, \in \, [L], \, \alpha \times v \, \in [L] $

Assim:
Cada elemento do sub-espaço [L] que acabamos de definir é uma combinação linear dos elementos $ \left \{ v_1, \, v_2, \, v_3, \, ..., \, v_n \right \} $

Fonte: CALLIOLI, Carlos A.; DOMINGUES, Hygino H.; COSTA, Roberto C. F., Álgebra Linear e Aplicações, São Paulo, Atual, 6ª ed, 1990.

Propriedades de um Espaço Vetorial

Após definir o que é um espaço vetorial, algumas propriedades podem ser observadas de forma quase imediata. A seguir veremos algumas delas:

Propriedade I: $\forall \alpha \, \in \, \Re, \, \alpha o \, = \, o$
Propriedade II: $\forall u \, \in \, V, \, u0 \, = \, 0$

Propriedade III: Se $\alpha u \, = \, o$ para $\alpha \, \in \, \Re$ e $u \, \in \, V$, então ou $\alpha \, = \, 0!$ ou $u \, = \, o$
Propriedade IV: $\forall \alpha \, \in \, \Re$ e $\forall u \, \in \, V, \, (-\alpha) u \, = \, \alpha (-u) \, = \, -(\alpha u)$
Propriedade V: $\forall \alpha \, \beta \, \in \, \Re$ e $\forall u \, \in \, V, \, (\alpha \, - \, \beta)u = \alpha u \, - \, \beta u$

O que é um Espaço Vetorial

Exemplo:
Prove a Propriedade I:
Das definições de Espaço Vetorial II-c e I-c, temos que:
$\alpha o \, = \, \alpha (o \, + \, o) \, = \, \alpha o \, + \, \alpha o$
Seja a igualdade $\alpha o \, = \, \alpha o$
Somando $- \alpha o$ de ambos os lados da igualdade temos:
$o \, = \, - \alpha o \, + \, \alpha o \,$
Aplicando o que foi mostrado acima, onde $\alpha 0 \, = \, \alpha o \, + \, \alpha o$ temos
$o \, = \, - \alpha o \, + \, \alpha o \, + \, \alpha o \, = \, \alpha o$
Ou seja:
$o \, = \, \alpha o$

Fonte: CALLIOLI, Carlos A.; DOMINGUES, Hygino H.; COSTA, Roberto C. F., Álgebra Linear e Aplicações, São Paulo, Atual, 6ª ed, 1990.

       

O que é um espaço vetorial?

Definição de um espaço vetorial

Definição: Um conjunto $V\, \neq \, \emptyset$ é um espaço vetorial sobre $ \Re $ se, e somente se, satisfizer as seguintes condições:

I - Existir uma adição em $V$ com as seguintes propriedades:

a) $u\, +\, v\, = \, v\, + \, u, \, \forall u , \, v \, \in \, V$

b) $u \, + \, (v \, + \, w) \, = \, (u \, + \, v) \, + \, w, \forall u, \, v , \, w \in \, V$

c) Existe em $V$ um elemento neutro para essa adição, simbolizado por $o$, onde:

$$u \, + \, o \, = \, u, \forall \, u \, \in \, V$$

d) Para todo elemento $u$ de $V$, existe seu oposto onde:

$$u \, + \, (-u) \, = \, o$$

II - Existir uma multiplicação $\Re \times V$ em $V$, ou seja, para todo par ($\alpha, u$) onde $\alpha \, \in \, \Re$ e $u \, \in \, V$, existe um, e apenas um elemento $v$ de $V$ tal que $\alpha \times u \, = \, v$, e para essa multiplicação tem-se, $ \forall \, \alpha, \, \beta \, \in \, \Re$:

a) $\alpha ( \beta u) \, = \, (\alpha \beta)u$

b) $(\alpha \, + \, \beta)u \, = \, \alpha u \, + \, \beta u$

c) $\alpha ( u \, + \, v) \, = \, \alpha u \, + \, \alpha v$

d) $1u \, = \, u$

Veja também:
Propriedades de um Espaço Vetorial
Sub-espaço Vetorial e Combinação Linear
Exercício Resolvido - Base de um espaço vetorial: Independência linear

Portanto, qualquer que seja a "soma" e a "multiplicação" definidas em um conjunto tais que satisfaçam as condições acima, teremos que o conjunto é um espaço vetorial segundo esta soma e esta multiplicação.

Fonte: CALLIOLI, Carlos A.; DOMINGUES, Hygino H.; COSTA, Roberto C. F., Álgebra Linear e Aplicações, São Paulo, Atual, 6ª ed, 1990.

Exercício Resolvido - Integral

Calcule as seguintes integrais:
1) Cos²(x)*Tan³(x)

2) Sec⁴(x/2)

3) Senⁿ(x)

4) Sen⁴(x)

Solução:

1)

Mas, das relações trigonométricas temos:

Substituindo na integral:

Como há uma subtração no integrando, podemos separar em duas integrais

Simplificando a segunda integral temos:

Como a derivada de Cos(x) = -Sen(x), vou chamar Cos(x) de 'u', ou seja, Cos(x) = u, logo, derivando de ambos os lados -Sen(x)dx = du.

Fazendo a substituição nas integrais:

Onde k1 e k2 são constantes arbitrárias que podemos substituir por k1 + k2 = k. Porém, como u = Cos(x).

2) Neste, a integral será com limites:

Para utilizar a integração por partes:

Nomeando convenientemente cada um dos fatores do integrando:

Integrando por partes:

Substituindo Tan(x/2) = u, onde du = (1/2)Sec²(x/2)dx

Como u = Tan(x/2)

Como Tan(0) = 0

Veja também:
O que é Integral?
Exercício Resolvido - Integrais
Exercício Resolvido - Integral de √(4 /x⁴-x²)
Exercício resolvido - Integral - Cálculo da área abaixo das curvas
Dedução da Área da elipse usando apenas conhecimentos de cálculo I

3) Integrando Senⁿ(x) por partes

Mas, das relações trigonométricas temos que Cos²(x) + Sen²(x) = 1, ou seja, Cos²(x) = 1 - Sen²(x)

Assim:

4) Usando o resultado do exercício 3) para n = 4, temos:

Para calcular a integral de Sen²(x) é possível utilizar o resultado obtido no exercício 3) também, para n = 2.

Onde C é uma constante qualquer.

Das relações trigonométricas temos que Sen(2x) = 2Sen(x)Cos(x)

Assim, substituindo:

Porém, como C é uma constante arbitrária, 3C/4 também será. Assim, para facilitar pode-se usar K = 3C/4