Leis de Newton, com exemplos

Leis de Newton com exemplos

Lei I:Todo corpo continua em seu estado de repouso ou de movimento uniforme em uma linha reta, a menos que seja forçado a mudar aquele estado por forças aplicadas sobre ele.
Esta lei é chamada de lei da inércia, e diz que todo corpo, ou objeto, tende a permanecer como está, a menos que uma força atue sobre ele.
Ex1.: Quando você deixa uma bicicleta parada por que ela cai? Não deveria, respeitando a 1ª lei de Newton, permanecer parada? Bom, neste caso, a força da gravidade atua nela, e por isso ela cai.
Ex2.: Quando você esta em um carro e ele faz uma curva, você sente uma 'força' empurrando você para 'fora' da curva, não é? Qual o motivo disso? Na verdade a tendência do seu corpo é continuar no movimento que o carro estava fazendo (em linha reta), assim, a impressão que temos é que estamos sendo jogados para fora da curva, quando na verdade apenas queremos continuar andando em linha reta. O que faz com que façamos a curva junto com o carro? A força de atrito do banco sobre nós.

Lei II: A mudança de movimento é proporcional à força motora imprimida e é produzida na direção de linha reta na qual aquela força é imprimida.
Esta é a famosa lei da "Força é má", ou seja, F = m.a
Talvez a lei mais importante e mais brilhante de Newton. Parece bem boba, mas se um dia você fizer uma faculdade de engenharia ou física, vai perceber que esta lei é a base de quase todos os fenômenos físicos. Na verdade, até agora, do que aprendi, de todos.
Ex1.: Veja que a lei fala que a mudança de movimento é na direção da força imprimida. Agora lhe pergunto: Se você pegar um barbante e amarrar em sua extremidade uma pedra e rodar ela. Percebe que a força que atua na pedra é apenas a força de tração do fio (que é a força que você faz segurando-o). Pois bem, você então poderia perguntar: Mas a força de tração do fio é na direção da mão (central ao movimento) e a pedra nunca virá em direção à mão, e sim tenderá a sair para fora. E agora??? Na verdade, neste caso, a força é sempre perpendicular ao movimento e a força de tração do fio muda de direção a cada instante, consegue perceber?
Se você 'der um pause' neste movimento vai perceber que a velocidade da pedra tem uma direção, tangente ao movimento dela e a força de tração é em direção à mão que segura o fio, logo, perpendicular à velocidade. Porém, em um instante imediatamente depois, a velocidade da pedra muda sua direção (consequência da força anteriormente citada), porém, junto com a mudança da direção da velocidade, muda a direção da força aplicada. Assim, na verdade, a pedra muda sua direção na direção da força sim, respeitando a 2ª Lei de Newton, porém o que ocorre é que a cada instante, a força muda sua direção também, junto com a pedra. Por isso ela (a pedra) sempre ficará rodando, e a força será sempre central.
Ex2.: Quando você solta uma massa, o que ocorre com ela? Ela cai, pela ação da gravidade, claro. Logo, inicialmente a pedra estava em repouso, assim, a força gravitacional agiu sobre ela mudando seu movimento na direção desta força, para baixo.

Lei III: A toda ação há sempre uma reação oposta e de igual intensidade: ou as ações mútuas de dois corpos um sobre o outro são sempre iguais e dirigidas em direções opostas.
Lei importante também, fala que toda ação tem uma reação de MESMA INTENSIDADE em sentido contrário. Ué, mas por que não se anulam?
Claro, porque se eu empurrar uma caixa com uma força num sentido, e você no sentido oposto empurrar com a mesma força, a caixa não se move. Certo?
Então por que neste caso elas não se anulam? O fato é que elas não se anulam pois atuam em corpos diferentes.
Ex1.: O exemplo da caixa, se você não estiver empurrando e caixa no sentido contrário a mim. Eu estarei empurrando-a em uma direção, isso fará com que a caixa me empurre em direção contrária. Logo, uma força atua na caixa (eu empurrando) e outra em mim (reação da caixa). Por atuar em corpos diferentes, esta força de reação não se anula. Mas por que eu consigo empurrar a caixa, ou seja, deslocá-la? Bom, recapitulando, eu empurro a caixa, ela me empurra, por que não vou para trás? Pois há a força de atrito, que me empurra para frente, assim, consigo me manter no mesmo lugar.
Ex2.: Um exemplo simples. Por que conseguimos andar? Na verdade a força de atrito faz com que nos desloquemos, ou seja, nós empurramos o chão para trás e a força de atrito como reação nos empurra para frente.


Exercício Resolvido - Tração

Um macaco de 10 kg está subindo por uma corda de massa desprezível, passando pelo galho de uma arvore e ligada, no outro extremo, a um corpo de massa igual a 15 kg. Com que aceleração mínima o macaco deve subir pela corda de modo a elevar o corpo de 15 kg do chão? Se após o corpo tiver sido elevado, o macaco parar de subir e continuar segurando a corda, qual será agora a aceleração do macaco e a tensão na corda?

Solução:
Considerando que a massa de 15 kg está no chão, se o macaco ficar apenas parado na corda, existe uma força 10*g do seu peso (g é a gravidade) de um lado da corda, menor que a força peso de 15*g do corpo do outro lado. Logo, a corda não se move e o macaco fica parado assim como o sistema todo.

Neste momento, se você analisar apenas o macaco - como ele esta parado - seu peso é igual à tração da corda, pois são as únicas forças que atuam nele, logo a tração da corda é de 10*g. Como a corda é única, esta tração é igual do dois lados. 

Mas se a tração do lado da massa é 10*g e a força peso da massa é 15*g, qual o motivo de ela não se deslocar, já que há uma força resultante (15g - 10g = 5g). Na verdade ela não se move pois há a força normal do chão que ajuda a sustentá-la.

Voltando ao exercício, para que a massa se eleve, a tração da corda deve ser maior que 15*g. Ou seja, o peso do macaco mais 10*a deve ser maior que 15*g

10*g + 10*a > 15*g
10(g+a)>15g

g+a>1,5g
0,5g < a

se g = 9,8m/s²
então a > 4,9 m/s². Perceba que 4,9m/s² é a aceleração mínima. Na verdade com esta aceleração EXATA, o sistema todo fica parado, porém qualquer coisa maior que 4,9 m/s² (4,90000000000000001m/s² por exemplo) já é suficiente para elevar a massa. Por isso dizemos que 4,9m/s² é a aceleração mínima, mesmo na realidade não sendo.

quando o macaco para, não há mais a sua aceleração para cima e a massa não esta mais no chão, logo não existe mais a força normal agindo nela. Neste caso, a massa irá causar uma força de 15*g na corda e como o macaco esta parado e seu peso é de 10*g a corda irá se movimentar no sentido de descer a massa. Assim, pela 2ª Lei de Newton:

Do lado da massa temos o seguinte equilíbrio de forças
15*g - T = 15*a e
Do lado do macaco temos
T - 10*g = 10*a
Logo, somando as duas equações:

15*g - 10*g = 15*a + 10*a
5*g = 25*a
a=g/5

a = 1,96m/s²
Com esta aceleração, substituindo em qualquer uma das equações, obtemos T:
T = 10*a + 10*g = 19,6 + 98 = 117,6 N ou
T = 15*g - 15*a = 15 (g-a) = 15*(9,8 - 1,96) = 15.7,84 = 117,6N (a tração na verdade é 117,6N, aproximadamente 118N, considerando g = 9,8 m/s²)


Exercício Resolvido - Quantidade de movimento

Uma bala é atirada contra um bloco de madeira, que está inicialmente em repouso sobre uma superfície horizontal sem atrito, conforme a figura a seguir. A bala atravessa o bloco, sofrendo uma variação de velocidade igual a 300 m/s, e o bloco adquire uma velocidade de 0,4 m/s. Se a massa do bloco é 1,5 kg, determine a massa da bala, em g, desprezando a perda de massa do bloco.



Solução:
Neste caso, como não há nenhuma força atuando no sistema como um todo, então F=m.a = 0, logo, a quantidade de movimento, m.v se conserva
Antes, a bala tinha uma velocidade Vo.
E o bloco, estava parado, então a quantidade de movimento do sistema era de:

m.Vo + 1,5.0 = m.Vo

Após a bala atingir o bloco, ele passa a ter uma velocidade de 0,4m/s, e a variação da velocidade da bala é de 300m/s, ou seja, sua velocidade é de (Vo - 300), assim, a quantidade de movimento após o choque é:

m.(Vo-300) + 1,5.0,4.

Mas como falei no início, ela se conserva, ou seja.:

m.(Vo-300) + 1,5.0,4 = m.Vo
m.Vo - 300.m + 0,6 = m.Vo
0,6 = 300.m

m = 0,2/100 = 0,002 kg = 2 g


Exercício Resolvido - Vetores

Dados os vetores u=(2, -4), v=(-5,1) e w=(-12,6), determinar a1 e a2 tais que w=a1.u+ a2.v:

Solução:
a1*u = a1*(2 , -4) = (a1*2 , -a1*4)
a2*v = a2*(-5 , 1) = (-5*a2 , a2)

a1*u + a2*v = (a1*2 , -a1*4) + (-5*a2 , a2) = (2*a1 - 5*a2 , -a1*4 + a2) = w
Mas w = (-12 , 6)

Assim,
2*a1 - 5*a2 = -12
-4*a1 + a2 = 6

Logo, resolvendo o sistema temos que:
a1 = -1
a2 = 2


Exercício Resolvido - Corrente em uma polia

Uma corrente uniforme e flexível de comprimento (m), pesando λ (kg/m) (onde λ é definido como sendo a densidade linear de massa) passa por uma pequena polia sem atrito e sem massa. Ela é solta de uma posição de repouso com x metros de corrente pendendo de um lado e (L - x) metros de outro lado. Desprezando qualquer efeito de reação da polia que não seja vertical e desconsiderando-se o seu tamanho, responda: a) Sob que condições a corrente se acelerará? b) Admitindo que essas condições são satisfeitas, ache a aceleração em função de x, da gravidade g e do comprimento da corrente L.



Solução:
a) A corrente irá acelerar-se se um dos lados for mais pesado que o outro, ou seja, a força resultante for diferente de zero.

b) Sendo x a parte da corrente do lado direito temos L-x do lado esquerdo.
Então, neste instante inicial, a força do lado direito é a força peso da parte da corrente que esta deste lado, ou seja Md*g, onde Md é a massa da corrente do lado direito. Do lado esquerdo, de forma análoga, temos Me*g.

Mas Md = λ*x, e Me = λ*(L-x)
Estas duas são as únicas forças atuando no sistema, assim, vamos supor que a porção da corrente do lado direito seja maior.
Temos então:
Md*g - Me*g = M*a, onde a é a aceleração do sistema e M a massa total, podemos ainda dizer que
λ*x*g - λ*(L-x)*g = M*a
Mas
M = λ*L
Logo
λ*x*g - λ*(L-x)*g = λ*L*a
Dividindo tudo por λ

x*g - (L-x)*g = L*a
-L*g + 2*x*g = L*a

Assim, a = -g + 2*x*g / L = g*(2x/L - 1)


Exercício Resolvido - Progressão Aritmética (PA)

Três números estão em progressão aritmética. A soma dos três é 21. Qual é o termo do meio?

Solução:


Trigonometria - Relações Trigonométricas

Quadro com algumas igualdades da trigonometria.

No quadro abaixo são apresentadas diversas relações da trigonometria que você pode salvar em seu computador e consultar quando desejar.

A trigonometria é uma área da matemática que acaba sendo vista como difícil por muitos alunos, porém, nenhum deles irá conseguir livrar-se deste assunto, devido à sua grande importância tanto na matemática quanto na física. A trigonometria pode ser fácil sim, basta entender algumas relações básicas. Neste vídeo (para ver o vídeo clique aqui) algumas dicas que irão ajudá-lo a memorizar as relações básicas da trigonometria como:



Relações trigonométricas




Exercício Resolvido - Eletrostática

Duas cargas, q e -q, são mantidas fixas a uma distância d uma da outra. Uma terceira carga q0 é colocada no ponto médio entre as duas primeiras. Nessa situação, o módulo da força eletrostática resultante sobre a carga q0 vale Fa.

A carga q0 é, então, afastada dessa posição ao longo da mediatriz entre as duas outras até atingir o ponto P, onde é fixada. Nesse ponto, as três cargas estão nos vértices de um triângulo equilátero. Nessa situação, o módulo da força eletrostática resultante sobre a carga q0 vale Fb.

Calcule a razão Fa/Fb.


Solução
Do exercício, o que está ocorrendo é:


O módulo da força que atua em q0 é constante, ou seja, se q0 for positiva ou negativa, o que irá mudar é apenas a direção da força, mas a intensidade será a mesma e igual a soma das forças que as cargas q e -q causam nela:

Força que a carga q causa em q0:

F = (K*q*q0) / (d/2)²

Força que a carga -q causa em q0:
F = (K*q*q0) / (d/2)²

A força resultante é a soma das duas, pois elas tem mesma direção onde uma das cargas q atrai e a outra repele a carga q0, independentemente do sinal da carga q0, logo:

Fa = 2*F = 2*(K*q*q0) / (d/2)²

Agora o segundo caso:

O que se pode perceber é que a força que -q causa em q0 tem a direção da reta que os une, e a força que q causa em q0, da mesma forma, tem a direção da reta que os une. Porém, supondo que q0 é positiva (se for negativa, vai dar a mesma coisa, só o que muda é a direção da força) a força que -q causa é de atração e a força que q causa é de repulsão, assim, calculamos estas duas forças e fazemos a soma vetorial.

Vamos lá, cálculo da força que q causa em q0:
F = (K*q*q0)/ d²

Cálculo da força -q em q0
F = (K*q*q0)/d²

Deu igual, o que era de se esperar pois ambas têm mesma distância. Agora devemos fazer a soma vetorial destas forças:

Como o ângulo de um triângulo equilátero é 60º
A força que q causa em q0 pode ser decomposta em:
F*cos(60º) na direção x
F*sen(60º) na direção y

E a força que -q causa em q0 pode ser decomposta em:
F*cos(60º) na direção x
-F*sen(60º) na direção y

Fb = F*cos(60º) + F*cos(60º) na direção x e
Fb = F*sen(60º) + (-F*sen(60º)) = 0 na direção y.

Assim, Fb = 2*(K*q*q0)*cos(60º) / d²
Como cos(60º) = 1/2

Fb = K*q*q0 / d²

Fa/Fb = [2*(K*q*q0) / (d/2)²] / [K*q*q0 / d²] = [2/(d²/4)] / [1/d²]
Fa/Fb = [8/d²] / [1/d²] = 8

Logo, 8 é a resposta


Exercício Resolvido - Queda Livre e tempo

Um corpo parte do repouso e cai livremente de uma altura H acima do solo. O efeito do ar é desprezível e a aceleração da gravidade constante. Se na primeira metade do percurso o corpo gasta um tempo ta , e na segunda metade um tempo tb, determine a razão ta/tb.

Solução:
Vamos calcular o tempo gasto para percorrer a 1ª distância H/2 (ta):

Sabemos que
S = So + Vo*t + a*t²/2
substituindo

H/2 = Ho + Vo*t + g*ta²/2
Ho = 0
Vo = 0 (parte do repouso)
H/2 = g*ta²/2
g*ta² = H
ta² = H/g
ta = (H/g)
Mas ao chegar neste ponto, a velocidade do corpo é:
V = Vo + a*ta, substituindo temos:
V = 0 + g*ta
V = g*ta.

No segundo percurso de H/2, o corpo já não esta mais em repouso, pois sua velocidade é de V = g*ta
Assim, a equação
S = So + Vo*t + a*t²/2, fica
H = H/2 + (g*ta)*tb + g*tb²/2
H/2 = g*tb*(ta + tb/2).
H = g*tb*(2*ta + tb)
Mas H = g*ta²
g*ta² - 2*g*ta*tb - g*tb² = 0, dividindo tudo por g
ta² - 2*ta*tb - tb² = 0
Dividindo tudo por tb² temos

(ta/tb)² - 2*(ta/tb) - 1 = 0

Seja x = ta/tb

x² - 2x - 1 = 0
Raizes de uma equação do 2º grau.
Resolvendo temos que
x1 = (2 + 2*2)/2 = 1+2
x2 = 1 - 2, que é negativa, portanto não serve, já que os tempos são positivos

Mas x = ta/tb
Logo, 1+2 é a resposta.


Exercício Resolvido: MRUV

Um móvel parte do repouso com aceleração constante de intensidade igual a 2,0 m/s² em uma trajetória retilínea. Após 20 s, começa a frear uniformemente até parar a 500 m do ponto de partida. Em valor absoluto, a aceleração de freada foi:

a) 8,0 m/s²
b) 6,0 m/s²
c) 4,0 m/s²
d) 2,0 m/s²
e) 1,6 m/s²

Solução:
Posição inicial (como não fala nada, zero)
So = 0

Parte do repouso:
Vo = 0

Aceleração:
a = 2m/s²

Vamos verificar o movimento entes de frear:
Utilizando a equação:
S = So + Vo*t + a*t²/2
S = 0   +  0*t   + 2*20²/2
S = 400m
E quando ele chega neste ponto, sua velocidade é:
V = Vo + a*t 
V = 0    + 2*20 
V = 40m/s

Assim, após ele percorrer os 400 m, ele passa a frear até parar. Neste segundo momento o 'So' já não é mais zero, pois a posição que esta o móvel aqui é 400 m e ele irá parar em 500 m, logo o 'So = 400 m' e o 'S = 500 m'.
A velocidade inicial 'Vo' também não é mais nula aqui, pois ele está com velocidade de 40 m/s. Como ele vai frear até parar o carro, a velocidade final 'V' é que será zero.
Utilizando a equação:
0² = 40² + 2*a*(500 - 400)
-1600 = 2*a*100
a = -8m/s²
Logo, a desaceleração foi de 8m/s², letra a)


Lançamento oblíquo - Seno e cosseno

Por que no lançamento oblíquo para cálculo das componentes da velocidade, na vertical se usa seno do ângulo formado com o eixo 'x' e na horizontal se usa cosseno do ângulo formado com o eixo 'x'?

Solução:
Pois, seno = Cateto oposto / Hipotenusa
cosseno = Cateto adjacente / Hipotenusa

No lançamento oblíquo a velocidade é inclinada em relação aos eixos 'x' e 'y'. Logo, esta velocidade tem duas componentes, uma em 'x' e outra em 'y'.
Assim, se você considerar o ângulo formado com o eixo 'x', a velocidade no eixo 'x' será V*Cos, pois neste caso o eixo 'x' é o cateto adjacente, mas se você considerar o ângulo formado com o eixo 'y', a componente em 'x' será V*Sen, pois agora o eixo 'x' é o cateto oposto.



Inauguração

Boa tarde.
Dia 31 de Janeiro de 2012, 15 horas e 50 minutos. Data e hora da abertura deste blog.
Espero que este seja o início de um grande e movimentado blog, com solicitações e usuários satisfeitos.
Aqui será o espaço para a publicação de exercícios que podem ser solicitados pelos usuários ou exercícios escolhidos pelos autores deste blog.

Qualquer dúvida:
Agradeço desde já.

Peter Brawn

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