Exercício resolvido - Derivada de função inversa

Sendo f(x) = x³ + x² + 4x, calcule a derivada de sua função inversa no ponto o qual y = 6.
Essa questão foi tirada do livro "Fundamentos de Matemática Elementar Vol 8".

Solução:
Dedução do teorema da derivada inversa.

Seja f(x) = y uma função de x.
Assim, seja 'g' a inversa de f(x), ou seja, g(y) = x.

Exemplo:
f(x) = 3x + 4
y = 3x + 4
x = (y - 4) / 3 = g(y)

Vale ressaltar que a função do exemplo é bijetora em qualquer intervalo real. Por isso admite inversa em qualquer intervalo.
O que queremos é a derivada da inversa de f(x), ou seja, g ' (y).

Sebe-se que
g(y) = x
Logo, f(g(y)) = y

Utilizando o teorema da derivada composta, derivando dos dois lados em relação a y, temos:
f '(g(y))*g '(y) = 1
g '(y) = 1 / f '(g(y))
Mas g(y) = x
g '(y) = 1 / f '(x)

Voltando ao exercício: f(x) = x³ + x² + 4x
f '(x) = (3x² + 2x + 4)

Logo:
g '(y) = 1 / (3x² + 2x + 4)

Para y = 6, devemos achar o valor de x:
x³ + x² + 4x = 6
x³ + x² + 4x - 6 = 0

Por inspeção, percebemos que x = 1 satisfaz.
Como a função é bijetora, só admite uma solução. Porém, toda equação do terceiro grau, tem 3 soluções. Logo, as outras duas devem ser complexas.

Verificando:
Como x = 1 é raiz:
x³ + x² + 4x - 6 = (x-1)*(x² + ax + b)
x³ + x² + 4x - 6 = x³ + ax² + bx - x² - ax - b

b = 6
a = 2
x³ + x² + 4x - 6 = (x-1)*(x² + 2x + 6)
E de fato, as raízes de x² + 2x + 6 são complexas.!

Logo:
g '(y) = 1 / (3x² + 2x + 4)
g '(6) = 1 / (3*1² + 2*1 + 4) = 1 / (3+2+4) = 1/9


Exercício resolvido - Integral - Cálculo da área abaixo das curvas

Calcule a área gerada pela intersecção das curvas:
y1 = x³ - 6x² + 8x
y2= x² - 4x


Solução:
Para a solução desse tipo de exercício é recomendável que se estime as curvas para saber os intervalos de integração.
Por se tratarem de polinômios, este dado não é difícil de se obter.
Fazendo para y1 = x³ - 6x² + 8x = x(x² - 6x + 8)

Encontrando as raízes:
x(x² - 6x + 8) = 0
x = 0
x² - 6x + 8 = 0
Soma = 6
Produto = 8
Logo, as raízes são 4 e 2
(Este método de obtenção das raízes pela soma e produto é baseado na intuição, ou seja, verifica-se a soma das raízes (-b/a) e o produto delas (c/a) e se for possível observar os valor das raízes, como nesse caso, então não é necessário calculá-las).

Fazendo o limite de y1 para x tendendo ao infinito, temos y1 tendendo ao infinito.
O mesmo para x tendendo a -infinito -> y1 tende a -infinito.

Desta forma podemos estimar como este gráfico se comporta, veja:
Ele começa de -infinito, corta o eixo x para x = 0 e depois num ponto para x = 2 (certamente tem um ponto de máximo entre esses pontos). Após isso, corta o eixo x para x = 4 e cresce até o infinito.

Analisando y2 = x² - 4x. Como é uma equação do 2º grau, é bem fácil determinar esta curva.
Ela possui raízes x = 0 e x = 4. Como o coeficiente de x² é positivo, sua concavidade é para cima.
Com isso, pode-se estimar as duas curvas:
Integral da área entre duas curvas
Em azul a curva de y1, em preto a curva de y2 e em amarela a área a ser calculada.

Agora, fica mais fácil fazer o exercício.
Devemos obter, inicialmente, os pontos onde as curvas se cortam.

Para isso, basta igualar as equações:
x² - 4x = x³ - 6x² + 8x
x(x - 4) = x(x² - 6x + 8)
x = 0 é uma solução

x-4 = x² - 6x + 8
x² - 7x + 12 = 0

Soma = 7
Produto = 12
Raízes: x = 4 e x = 3 são outras soluções.

Logo, as curvas se interceptam para:

x = 0, x = 3 , x = 4
y = 0, y = -3, y = 0

Pontos:
(0,0) , (3,-3) , (4,0)

Agora, observando a figura, temos que a primeira área varia, em x, de 0 a 3, e em y, de y2 a y1 ficando:

A segunda área varia, em x, de 3 a 4, e em y, de y1 a y2. Perceba um detalhe, que nesta segunda área a variação de y é trocada, por isso a área não pode ser calculada numa vez só, ou seja, com x variando de 0 a 4 e y de y2 a y1, pois se assim fosse feito, esta segunda área seria computada como negativa.
Assim, a área total é A1 + A2 = (135 + 7)/12 = 71/6