Exercício Resolvido - Geometria Plana: Vestibular UERJ 2011

Exercício de geometria plana do vestibular UERJ 2011

Este exercício será resolvido de duas formas. A segunda é mais simples, porém exige que se perceba algumas características do pentágono.

Método 1:
A embalagem de papelão de um determinado chocolate, representada na figura abaixo, tem a
forma de um prisma pentagonal reto de altura igual a 5 cm.
Pentágono

Em relação ao prisma, considere:
- cada um dos ângulos A, B, C e D da base superior mede 120º;
- as arestas AB, BC e CD medem 10 cm cada.
Considere, ainda, que o papelão do qual é feita a embalagem custa R$10,00 por m² e que √3 = 1,73
Na confecção de uma dessas embalagens, o valor, em reais, gasto somente com o papelão é
aproximadamente igual a:
(A) 0,50
(B) 0,95
(C) 1,50
(D) 1,85

Solução:
Antes de começar a fazer o exercício propriamente dito é importante deixar destacado o fato de que ele pede que seja calculada a quantidade total de papelão. Por vezes, exercícios assim, faz-se a parte mais difícil, que é calcular a área do pentágono e esquece-se de somar a área lateral e a área do pentágono da face oposta. Assim, vou começar o exercício destacando isso:

Área Total = 2*APentágono + ALateral

Cálculo da área do pentágono:

Os dados fornecidos no exercício são poucos mas suficientes. Inicialmente, é preciso lembrar que um pentágono tem a soma dos seus ângulos internos igual a 540º. Este valor vem da fórmula da soma dos ângulos internos de um polígono:

S = (n - 2)*180

Onde S é a soma dos ângulos internos e n o número de lados. Como o pentágono tem 5 lados:

S = (5 - 2)*180 = 3*180 = 540º

Assim, como quatro Ângulos medem 120º, então o ângulo Ê certamente será de 60º:

Geometria plana

Traçando uma linha horizontal ligando A e D, dividimos o pentágono em dois polígonos: um triângulo e um trapézio:
Soma dos ângulos internos
Pela simetria da figura temos que os ângulos nos vértices A e D são divididos de forma igual o que garante que a parte que fica do lado do triângulo mede o mesmo nos dois casos. Usando a fórmula da soma dos ângulo internos, descobrimos que um triângulo tem a soma dos seus ângulos igual a 180º. Neste caso, os ângulos do vértice A e do vértice D que ficaram do lado do triângulo só podem medir 60º. Com isso, conclui-se que os ângulo que ficaram no lado do trapézio também medem 60º:
Triângulo

Com estas informações, podemos concluir que o triângulo é equilátero, ou seja, possui todos os lados iguais. Esta conclusão se dá pois um triângulo equilátero tem seus Ângulos internos todos iguais a 60º. Assim, a distância entre AD é a mesma de AE e de DE.
Fazendo duas linhas verticais partindo de C e de B, passamos a ter dois triângulos retângulos a, com isso, conseguimos calcular tudo o que precisamos:
Pentágono
Agora temos uma figura com três triângulos e um retângulo. O valor do lado BG pode ser calculado multiplicando BA pelo cosseno de 30º:

BG = BA*Cos(30º) = 10*(√3 / 2) = 5√3

Assim, a área do retângulo será de: 10*5√3 = 50√3

Da mesma forma, podemos calcular AG:

AG = BA*Sen(30º) = 10*(1/2) = 5

Como o triângulo AGB é retângulo, sua área é (1/2)*AG*BG. Como o triângulo DFC tem a mesma área:

Área dos triângulos AGB e DFC = (1/2)*5*5√3 = 25√3 / 2 = 12,5√3

Assim, a área do trapézio será:

ATrapézio = 50√3 + 12,5√3 + 12,5√3 = 75√3

Com isso, além de calcular a área do trapézio, calculamos o comprimento do segmento de reta DA pois AG = FD = 5 cm e FG = CB = 10 cm. Assim:

DA = AG + GF + FD = 20 cm

Porém, como o triângulo DEA é equilátero, então todos os seus lados medem 20 cm, assim, DE = AE = 20 cm.
A área de DEA pode ser calculada sabendo que a área de um triângulo equilátero é dada por:

A = (1/4)*l²*√3

Onde l é o lado do triângulo e neste caso, vale 20 cm. Assim:

ADEA = (1/4)*(20²)*√3 = 100√3

Agora, basta somar todas as áreas para obter a área do pentágono:

APentágono = 75√3 + 100√3 = 175√3 = 175*1,73 = 302,75 cm² = 0,030275 m²

Resta calcular a área lateral. Porém, como conhecemos a altura (5 cm) e temos todas as arestas do pentágono, esta cálculo fica facilitado:

ALateral = 10*5 + 10*5 + 10*5 + 20*5 + 20*5 = 350 cm² = 0,0350 m²

Área Total = 2*APentágono + ALateral = 2*0,030275 + 0,0350 = 0,06055 + 0,0350 = 0,09555 m²

Como o preço é de R$ 10,00 por m², o valor total será:

10*0,09555 = 0,95

Letra (B)


Método 2:
Continuamos do ponto em que foi traçada a linha ligando os pontos A e D.
Assim, partindo dos pontos C e B, traçamos duas retas de modo a dividir os ângulos de 120º em B e em C em dois ângulos de 60º:
Agora, passamos a ter 4 triângulos equiláteros e como conhecemos as medidas DC, CB e BA, então conhecemos todas as outras pois DH também deverá medir 10 cm, já que é um dos lados do triângulo equilátero DCH. O mesmo com HA. Desta forma, DA = 20 cm = DE = AE.

Assim, a área do pentágono será:

APentágono = 3*(1/4)*10²*√3 + (1/4)*20²*√3 = 75*√3 + 100*√3 = 175*1,73 = 302,75 cm² = 0,030275 m².

Da mesma forma que foi feita anteriormente, obtemos a área total de papelão.


Exercício Resolvido - Caminhos: Análise combinatória: Vestibular UERJ 2011

Cálculo do número de caminhos mínimos entre dois pontos

Uma rede é formada de triângulos equiláteros congruentes, conforme a representação abaixo.
Uma formiga se desloca do ponto A para o ponto B sobre os lados dos triângulos, percorrendo
X caminhos distintos, cujos comprimentos totais são todos iguais a d.

Sabendo que d corresponde ao menor valor possível para os comprimentos desses caminhos, X
equivale a:
(A) 20
(B) 15
(C) 12
(D) 10

Solução:
Para saber quantos caminhos de menor comprimento são possíveis, devemos percorrer, inicialmente, um dos menores caminhos. Seja ele o caminho partindo de A, andando 4 linhas na horizontal e 2 na diagonal até chegar em B:
Número de caminhos
Neste caso, podemos dizer que a formiga percorreu o caminho HHHHDD, já que foi quatro vezes para a esquerda na horizontal, e duas vezes para cima na direção diagonal.
Assim, para saber quantos caminho de comprimento igual a esse basta calcular o número de formas de combinar as quatro letras H e as duas D para formar "palavras" diferentes, ou seja, devemos calcular o número de anagramas possíveis de serem formados com HHHHDD.
Supondo que todas as seis letras sejam diferentes, podemos dizer que é possível "embaralhá-las" de K formas distintas, onde:

K = 6*5*4*3*2*1 = 6! = 720

Porém, temos quatro letras H e duas D. Com isso num mesmo anagrama ao trocarmos dois H's de lugar, o anagrama segue o mesmo. Por exemplo, seja a palavra HDHDHH. Ao trocar o último H com o primeiro H, a palavra continua sendo exatamente a mesma e como são quatro letras H's que temos, existem 4*3*2*1 = 4! combinações de H's possíveis para cada palavra. O mesmo com a letra D, que possui duas iguais, neste caso teremos 2*1 = 2! combinações. Assim, o número de caminhos diferentes será:

Neste caso são 15 caminhos de comprimento mínimo possíveis. Resposta (B)


Força de Euler, Einstein, Coriolis e Centrífuga: Referencial não inercial.

Demonstração das forças que atuam em uma partícula ligada a um referencial não inercial: Força de Euler, de Einsteins, de Coriolis e Centrífuga (centrípeta).

Demonstre todas as possíveis forças que atuam em uma partícula em um referencial não inercial.

Solução:
Por motivos didáticos e para simplificar o post, a demonstração será feita em duas dimensões, porém o resultado pode ser estendido para um caso tridimensional. Isso irá facilitar bastante a visualização.

Veja o desenho abaixo que representa um referencial fixo (inercial, em preto) formado pelos eixos x, y e z, onde z esta saindo da tela em direção ao leitor. Em azul esta o referencial não inercial e o ponto P onde queremos calcular as forças. Seria algo como um avião, onde o ponto P é uma pessoa dentro deste avião. Assim, definimos as coordenadas deste ponto em relação a um referencial no avião, porém como este avião faz curvas e acelera este referencial é não inercial.



Obs.: Vale salientar que o tamanho dos eixos (x,y) estão diferentes dos eixos (xn, yn) mas todos eles têm módulo unitário. Na figura, x e y representam a direção onde aponta os vetores unitário x e y.

Do que se pode ver da figura, temos o vetor posição do ponto P descrito como:

r = R + rn

Porém, o vetor R possui suas coordenadas escritas no referencial inercial (x,y,z), mas o vetor rn não. As coordenadas de rn estão descritas no referencial (xn, yn, zn). Assim, podemos escrever os vetores Rrn segundo seus versores:


Assim, temos definida a posição do ponto P, que é dada pelo vetor r.

Para obter a velocidade do ponto P, basta derivar em relação ao tempo o vetor r. Neste caso, é importante perceber que os versores inerciais (x,y,z) não se alteram, porém os não inerciais mudam com o tempo. Ainda, como estabelecemos que o movimento será bidimensional, então o sistema não inercial poderá rotacionar apenas em torno do eixo zn, ou seja, existe uma velocidade angular ω na direção zn. Esta velocidade angular irá alterar o ângulo formado entre os sistemas de referência. Veja na figura a seguir:

Força de coriolis

Nesta última figura fica fácil perceber algumas coisas importantes:


Voltando ao resultado do vetor r que obtivemos anteriormente:


Derivando no tempo temos:


Porém, como os eixos x e y são constantes, suas derivadas serão nulas o que elimina o termo na qual eles estão multiplicando. O mesmo ocorre para os eixos z e zn, já que estamos considerando que o movimento é bidimensional, neste caso eles não alteram suas direções, mantendo-se constante. Isso ocorre pois toda rotação se da nas direções z (ou zn, já que eles têm mesmo direção e sentido). Neste caso temos:


Definindo algumas simplificações:


Onde V seria a velocidade com que a origem do referencial não inercial se afasta da origem do referencial inercial.


Onde vn seria a velocidade do ponto P em relação ao referencial não inercial.

Restou o termo:


Para isso, precisamos derivar os versores do referencial não inercial:


Mas, vejam que feliz coincidência. Observando as relações obtidas antes, temos que:


Fazendo o mesmo para o dyn/dt chegamos que:


Assim:


Porém, como yn = zn × xnxn = -zn × yn, onde × é o produto vetorial e, ainda, sabendo que a velocidade angular tem direção zn, temos:


Desta forma:


Para obtenção das acelerações, basta que derivemos mais uma vez:


Mas, de forma similar obtemos que:


Que seria a aceleração com que o referencial não inercial se afasta do referencial inercial.



onde, já foi mostrado que:


Assim:


Que pode ser escrito como:


Multiplicando pela massa todos os termos, temos a força que age no corpo, assim teremos:


Mudando para força (F):


Podendo ser escrito da seguinte forma:


Perceba que se o referencial fosse inercial, o lado esquerdo da igualdade deveria ser nulo segundo a 2ª Lei de Newton. Isolando a força Fn temos a 2ª Lei de Newton para um referencial não inercial e podemos "nomear" cada uma das forças (que na verdade são pseudo forças, pois são reações aparentes que uma partícula sente num referencial não inercial) que ficam do lado direito da igualdade, segundo cada um dos físicos que às descobriram:


Veja que todas elas têm sinal '-' pois representam "reações". A seguir alguns comentários com relação a essas forças.

A pseudo força Centrífuga é facilmente percebida quado estamos num carro, por exemplo, e ele faz uma curva. Neste caso, há uma tendência de sermos empurrados para fora do carro (ou para fora da curva). Esta tendência é a reação da força centrípeta, que age no carro puxando-o para dentro.

A pseudo força de Euler ocorre quando há variação da velocidade angular. Ela tem direção oposta à variação da velocidade angular. Imagine um disco girando e você sobre ele em pé e imóvel. Se a velocidade angular for constante irá agir a força centrípeta na direção radial, porém se a velocidade angular começar a aumentar, é possível que você se desequilibre e caia para trás ou para frente (dependendo se a velocidade angular aumenta ou diminui). Esta é a pseudo força de Euler. Note que não houve ação de força nenhuma mas sim um torque que fez com que o disco girasse mais rápido, assim a aceleração angular fez aumentar a velocidade tangente no ponto em que você estava em pé e com isso, aumentou-se a força de atrito entre você e o disco. Surgiu uma força, portanto, devido ao aumento da velocidade angular. A reação a esta força é a pseudo força de Euler. 

A pseudo força de Coriolis é percebida, por exemplo, na brincadeira em que um pessoa, sentada em uma cadeira, gira com os braços abertos. Em determinado momento, ao puxar os braços em direção ao corpo sua velocidade de rotação aumenta. Para um observador que vê de fora o que esta ocorrendo, nada se altera o que ocorre é apenas a conservação do momento angular. Porém a pessoa sentada na cadeira sente que, ao puxar seus braços em direção ao corpo estes tendem a girar mais rápido, já que sua distância em relação ao eixo de rotação esta diminuindo. Desta forma, esta pessoa precisa fazer uma força "segurando seu braço" para que ele não gire mais rápido. Assim, todo o corpo irá aumentar sua velocidade angular. Neste caso, a pessoa sentada sente como se uma força fizesse acelerar sua rotação. Esta é a ação da pseudo força de Couriolis.

A pseudo força de Einstein  é uma reação ao movimento de translação do corpo e ela é constantemente percebida por nós. Por exemplo, quando um avião vai decolar e somos "empurrados" para trás. Outro exemplo interessante é o de um bloco sobre um plano inclinado. Se não houver atrito este bloco vai escorregar para baixo. Porém, se este plano inclinado for acelerado esta aceleração irá "agir" no bloco fazendo com que a velocidade com que ele escorrega seja alterada. Esta pseudo força é chamada de Força de Einstein.


Exercício Resolvido - Probabilidade: VESTIBULAR UERJ 2011

VESTIBULAR UERJ 2011 - QUESTÃO 34 SOBRE PROBABILIDADE

Uma fábrica produz sucos com os seguintes sabores: uva, pêssego e laranja. Considere uma caixa
com 12 garrafas desses sucos, sendo 4 garrafas de cada sabor.
Retirando-se, ao acaso, 2 garrafas dessa caixa, a probabilidade de que ambas contenham suco com o mesmo sabor equivale a:
(A) 9,1%
(B) 18,2%
(C) 27,3%
(D) 36,4%

Solução:
Este exercício deve ser feito em duas "etapas". A primeira onde temos 12 garrafas de suco na caixa e uma delas é retirada. A segunda etapa ocorre quando vamos retirar a segunda garrafa de suco, pois agora já não são mais 12 garrafas que temos na caixa, e sim 11. Além disso, se desejamos retirar duas garrafas de suco do mesmo sabor, ao retirar o segundo suco terão apenas 3 garrafas do sabor que desejamos, e não 4 como antes. Entendendo isso, vamos ao exercício:








No primeiro momento temos 12 garrafas dentro da caixa e retiramos uma delas. Perceba que o exercício não especifica qual suco que ele quer que sejam tirados, mas apenas que devem ser dois do mesmo sabor, neste caso, podem ser dois sucos de uva, pêssego ou laranja. Assim, ao retirar o primeiro suco, podemos retirar de qualquer sabor, e isso claro, tem 100% de chance de acontecer já que a probabilidade de retirar qualquer suco de dentro da caixa é 1.

No segundo momento, temos apenas 11 sucos na caixa e, agora sim, desejamos tirar um suco do mesmo sabor do primeiro. Neste caso, temos apenas 3 garrafas na caixa que possui 11 sucos. Aqui, a probabilidade será de:



Como a primeira probabilidade é 100%, então ela não interfere no resultado final. Logo,  resposta é letra (C).